En matemáticas , la teoría de representación del grupo de Poincaré es un ejemplo de la teoría de representación de un grupo de Lie que no es ni un grupo compacto ni un grupo semisimple . Es fundamental en la física teórica .
En una teoría física que tiene el espacio de Minkowski como espacio-tiempo subyacente , el espacio de estados físicos suele ser una representación del grupo de Poincaré. (De manera más general, puede ser una representación proyectiva , lo que equivale a una representación de la doble cobertura del grupo.)
En una teoría de campos clásica , los estados físicos son secciones de un paquete de vectores equivalente a Poincaré sobre el espacio de Minkowski. La condición de equivarianza significa que el grupo actúa sobre el espacio total del paquete de vectores y la proyección al espacio de Minkowski es un mapa equivariante . Por tanto, el grupo Poincaré actúa también sobre el espacio de las secciones. Las representaciones que surgen de esta manera (y sus subcocientes) se denominan representaciones de campo covariantes y no suelen ser unitarias.
Para una discusión sobre tales representaciones unitarias , consulte la clasificación de Wigner .
En mecánica cuántica, el estado del sistema está determinado por la ecuación de Schrödinger, que es invariante ante transformaciones galileanas. La teoría cuántica de campos es la extensión relativista de la mecánica cuántica, donde las ecuaciones de onda relativistas (invariantes de Lorentz/Poincaré) se resuelven, "cuantizan" y actúan sobre un espacio de Hilbert compuesto por estados de Fock .
No existen representaciones unitarias finitas de las transformaciones completas de Lorentz (y por tanto de Poincaré) debido a la naturaleza no compacta de los impulsos de Lorentz (rotaciones en el espacio de Minkowski a lo largo de un eje de espacio y tiempo). Sin embargo, existen representaciones finitas, no unitarias e indescomponibles del álgebra de Poincaré, que pueden usarse para modelar partículas inestables. [1] [2]
En el caso de partículas de espín 1/2, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar preservado por esta representación asociando un espinor de Dirac de 4 componentes con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz generadas por las matrices gamma ( ). Se puede demostrar que el producto escalar
se conserva. Sin embargo, no es definida positiva, por lo que la representación no es unitaria.
