Forma de curvatura

En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un fibrado principal . El tensor de curvatura de Riemann en geometría riemanniana puede considerarse un caso especial.

Definición

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y P → B un fibrado principal de G. Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma unidimensional de valor α en P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Entonces la forma de curvatura es la forma 2-valorada en P definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(En otra convención, 1/2 no aparece.) Aquí representa la derivada exterior , se define en el artículo " Forma de álgebra de Lie valorada " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

donde X , Y son vectores tangentes a P.

También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces ^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

donde hZ significa el componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento del álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización utilizado por convención en la fórmula para la derivada exterior . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructura puede reducirse al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.

Forma de curvatura en un haz vectorial

Si E → B es un fibrado vectorial, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de 1-formas y la fórmula anterior se convierte en la ecuación de estructura de E. Cartan:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

donde es el producto de cuña . Más precisamente, si y denotan componentes de ω y Ω correspondientemente (por lo que cada uno es una forma 1 habitual y cada uno es una forma 2 habitual), entonces ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

Por ejemplo, para el fibrado tangente de una variedad de Riemann , el grupo de estructura es O( n ) y Ω es una 2-forma con valores en el álgebra de Lie de O( n ), es decir, las matrices antisimétricas . En este caso, la forma Ω es una descripción alternativa del tensor de curvatura , es decir

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

utilizando la notación estándar para el tensor de curvatura de Riemann.

Identidades de Bianchi

Si es la forma 1 con valor vectorial canónico en el fibrado del marco, la torsión de la forma de conexión es la forma 2 con valor vectorial definida por la ecuación de estructura ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

donde como arriba D denota la derivada covariante exterior .

La primera identidad de Bianchi toma la forma

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

La segunda identidad de Bianchi toma la forma

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

y es válido de manera más general para cualquier conexión en un haz principal .

Las identidades de Bianchi se pueden escribir en notación tensorial como: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

Las identidades de Bianchi contraídas se utilizan para derivar el tensor de Einstein en las ecuaciones de campo de Einstein , la mayor parte de la teoría general de la relatividad . ^{[ aclaración necesaria ]}

Notas

1. desde . Aquí también utilizamos la convención de Kobayashi para la derivada exterior de una forma que es entonces ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$ ${\displaystyle \sigma =2}$ ${\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}$
2. Prueba: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

Referencias

• Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1963) Fundamentos de geometría diferencial , Vol. I, Capítulo 2.5 Ecuación de forma y estructura de curvatura, pág. 75, Wiley Interscience .

Véase también

• Conexión (haz principal)
• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Identidades Bianchi contratadas
• Tensor de Einstein
• Ecuaciones de campo de Einstein
• Teoría general de la relatividad
• Forma Chern-Simons
• Curvatura de las variedades de Riemann
• Teoría de calibre