Derivada covariante de calibre

Derivada utilizada en teorías de calibre

En física , la derivada covariante de calibre es un medio para expresar cómo varían los campos de un lugar a otro, de una manera que respeta cómo los sistemas de coordenadas utilizados para describir un fenómeno físico pueden cambiar de un lugar a otro. La derivada covariante de calibre se utiliza en muchas áreas de la física, incluida la teoría cuántica de campos y la dinámica de fluidos y, de una manera muy especial, la relatividad general .

Si una teoría física es independiente de la elección de los marcos locales, el grupo de cambios de marcos locales, las transformaciones de calibración , actúan sobre los campos en la teoría mientras dejan inalterado el contenido físico de la teoría. La diferenciación ordinaria de los componentes de campo no es invariante bajo tales transformaciones de calibración, porque dependen del marco local. Sin embargo, cuando las transformaciones de calibración actúan sobre los campos y la derivada covariante de calibración simultáneamente, preservan propiedades de teorías que no dependen de la elección del marco y, por lo tanto, son descripciones válidas de la física. Al igual que la derivada covariante utilizada en la relatividad general (que es un caso especial), la derivada covariante de calibración es una expresión para una conexión en coordenadas locales después de elegir un marco para los campos involucrados, a menudo en forma de notación de índice.

Descripción general

Hay muchas maneras de entender la derivada covariante de calibre. El enfoque adoptado en este artículo se basa en la notación históricamente tradicional utilizada en muchos libros de texto de física. ^{[1] [2] [3]} Otro enfoque es entender la derivada covariante de calibre como un tipo de conexión , y más específicamente, una conexión afín . ^{[4] [5] [6]} La conexión afín es interesante porque no requiere que se defina ningún concepto de tensor métrico ; la curvatura de una conexión afín puede entenderse como la intensidad de campo del potencial de calibre. Cuando se dispone de una métrica, se puede ir en una dirección diferente y definir una conexión en un fibrado de marcos . Este camino conduce directamente a la relatividad general; sin embargo, requiere una métrica, que las teorías de calibre de la física de partículas no tienen.

En lugar de ser generalizaciones una de otra, la geometría afín y la métrica van en direcciones diferentes: el grupo de calibración de la geometría ( pseudo ) riemanniana debe ser el grupo ortogonal indefinido O(s,r) en general, o el grupo de Lorentz O(3,1) para el espacio-tiempo . Esto se debe a que las fibras del fibrado de marco deben necesariamente, por definición, conectar los espacios tangente y cotangente del espacio-tiempo. ^[7] En contraste, los grupos de calibración empleados en física de partículas podrían en principio ser cualquier grupo de Lie , aunque en la práctica el Modelo Estándar solo usa U(1) , SU(2) y SU(3) . Nótese que los grupos de Lie no vienen equipados con una métrica.

Un enfoque aún más complicado, pero más preciso y geométricamente esclarecedor, es entender que la derivada covariante de calibre es (exactamente) lo mismo que la derivada covariante exterior en una sección de un fibrado asociado para el fibrado principal de fibras de la teoría de calibre; ^[8] y, para el caso de los espinores, el fibrado asociado sería un fibrado de espín de la estructura de espín . ^[9] Aunque conceptualmente es el mismo, este enfoque utiliza un conjunto muy diferente de notación y requiere una formación mucho más avanzada en múltiples áreas de geometría diferencial .

El paso final en la geometrización de la invariancia de calibración es reconocer que, en la teoría cuántica, uno sólo necesita comparar fibras vecinas del haz principal de fibras, y que las fibras mismas proporcionan una descripción extra superflua. Esto conduce a la idea de modificar el grupo de calibración para obtener el grupoide de calibración como la descripción más cercana de la conexión de calibración en la teoría cuántica de campos. ^{[6] [10]}

Para las álgebras de Lie ordinarias, la derivada covariante de calibración de las simetrías espaciales (las de la variedad pseudo-riemanniana y la relatividad general) no se puede entrelazar con las simetrías de calibración internas; es decir, la geometría métrica y la geometría afín son necesariamente temas matemáticos distintos: este es el contenido del teorema de Coleman-Mandula . Sin embargo, una premisa de este teorema es violada por las superálgebras de Lie (¡que no son álgebras de Lie!), ofreciendo así la esperanza de que una única simetría unificada pueda describir tanto las simetrías espaciales como las internas: este es el fundamento de la supersimetría .

El enfoque más matemático utiliza una notación libre de índices, enfatizando la estructura geométrica y algebraica de la teoría de gauge y su relación con las álgebras de Lie y las variedades de Riemann ; por ejemplo, tratando la covarianza de gauge como equivarianza en fibras de un haz de fibras. La notación de índice utilizada en física la hace mucho más conveniente para cálculos prácticos, aunque hace que la estructura geométrica general de la teoría sea más opaca. ^[7] El enfoque de física también tiene una ventaja pedagógica: la estructura general de una teoría de gauge se puede exponer después de un fondo mínimo en cálculo multivariado , mientras que el enfoque geométrico requiere una gran inversión de tiempo en la teoría general de la geometría diferencial , las variedades de Riemann , las álgebras de Lie , las representaciones de las álgebras de Lie y los fibrados principales antes de que se pueda desarrollar una comprensión general. En discusiones más avanzadas, ambas notaciones se mezclan comúnmente.

Este artículo intenta seguir más de cerca la notación y el lenguaje comúnmente empleados en el currículo de física, tocando sólo brevemente las conexiones más abstractas.

Motivación de la derivada covariante a través del requisito de covarianza de calibre

Consideremos una transformación de norma genérica (posiblemente no abeliana) que actúa sobre un campo componente . Los principales ejemplos en teoría de campos tienen un grupo de norma compacto y escribimos el operador de simetría como donde es un elemento del álgebra de Lie asociado con el grupo de Lie de transformaciones de simetría, y puede expresarse en términos de los generadores hermíticos del álgebra de Lie (es decir, hasta un factor , los generadores infinitesimales del grupo de norma), , como . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi =(\phi _{a})_{a=1..n}}$ ${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)}}$ ${\displaystyle \alpha (x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{t_{K}\}_{K\in {\mathcal {K}}}}$ ${\displaystyle \alpha (x)=\alpha ^{K}(x)t_{K}}$

Actúa sobre el terreno como ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi '(x)=U(x)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\phi (x),}$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(x)\rightarrow \phi {'}^{\dagger }\equiv \phi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)=\phi ^{\dagger }(x)e^{-i\alpha (x)},\qquad U^{\dagger }=U^{-1}.}$

Ahora bien, la derivada parcial se transforma, en consecuencia, como ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\phi (x)\rightarrow \partial _{\mu }\phi '(x)=U(x)\partial _{\mu }\phi (x)+(\partial _{\mu }U)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\partial _{\mu }\phi (x)+i(\partial _{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\phi (x)}$.

Por lo tanto, un término cinético de la forma lagrangiana no es invariante bajo transformaciones de calibre. ${\displaystyle \phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi }$

Definición de la derivada covariante de calibre

La causa fundamental de la invariancia de calibre no es que al escribir el campo como un vector de fila o en notación de índice , hemos hecho implícitamente una elección de campo de marco base , es decir, un conjunto de campos de modo que cada campo pueda expresarse de forma única como para funciones (usando la suma de Einstein ), y asumimos que los campos del marco son constantes . La invariancia de calibre local (es decir, dependiente) puede considerarse como invariancia bajo la elección del marco. Sin embargo, si un marco base es tan bueno como cualquier otro equivalente de calibre, no podemos asumir que los campos de un marco sean constantes sin romper la simetría de calibre local. ${\displaystyle \phi =(\phi _{1},\ldots \phi _{n})}$ ${\displaystyle \phi _{a}}$ ${\displaystyle \varphi ^{1}(x),\ldots ,\varphi ^{n}(x)}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{a}\varphi ^{a}}$ ${\displaystyle \phi _{a}(x)}$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$ ${\displaystyle x}$

Podemos introducir la derivada covariante de calibración como una generalización de la derivada parcial que actúa directamente sobre el campo en lugar de sobre sus componentes con respecto a una elección de sistema. Una derivada covariante de calibración se define como un operador que satisface una regla de producto. ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }(f\phi )=(\partial _{\mu }f)\phi +f(D_{\mu }\phi )}$

para cada función suave (esta es la propiedad definitoria de una conexión). ${\displaystyle f}$

Para volver a la notación de índice usamos la regla del producto

${\displaystyle D_{\mu }\phi =D_{\mu }(\phi _{a}\varphi ^{a})=(\partial _{\mu }\phi _{a})\varphi ^{a}+\phi _{a}(D_{\mu }\varphi ^{a}).}$.

Para un fijo , es un campo, por lo que se puede expandir con respecto al campo de referencia. Por lo tanto, una derivada covariante de calibración y un campo de referencia definen un potencial de calibración (posiblemente no abeliano). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{\mu }\varphi ^{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }\varphi ^{a}=-igA_{\mu b}^{a}\varphi ^{b}}$

(el factor es convencional para grupos de calibración compactos y se interpreta como una constante de acoplamiento). A la inversa, dado el marco y un potencial de calibración , esto define de manera única la derivada covariante de calibración. Entonces obtenemos ${\displaystyle -ig}$ ${\displaystyle \varphi ^{1},\ldots \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle A_{\mu b}^{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }\phi =(D_{\mu }\phi )_{a}\varphi ^{a}=(\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b})\varphi ^{a}}$.

y con campos de marco suprimidos esto da en notación de índice

${\displaystyle (D_{\mu }\phi )_{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b},}$

que por abuso de notación a menudo se escribe como

${\displaystyle D_{\mu }\phi _{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b}}$.

Esta es la definición de la derivada covariante de calibre tal como se presenta habitualmente en física. ^[11]

A menudo se supone que la derivada covariante de calibración satisface condiciones adicionales que hacen que la estructura adicional sea "constante" en el sentido de que la derivada covariante se anula. Por ejemplo, si tenemos un producto hermítico en los campos (por ejemplo, el producto interno conjugado de Dirac para los espinores) que reduce el grupo de calibración a un grupo unitario, podemos imponer la condición adicional ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}\psi }$

${\displaystyle \partial _{\mu }h(\phi ,\psi )=h(D_{\mu }\phi ,\psi )+h(\phi ,D_{\mu }\psi )}$

haciendo que el producto hermítico sea "constante". Escribiendo esto con respecto a un campo de marco ortonormal local se obtiene ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \partial _{\mu }(\phi _{a}^{*}\psi _{a})=\sum _{a}(D_{\mu }\phi )_{a}^{*}\psi _{a}+\phi _{a}^{*}(D_{\mu }\psi )_{a}}$,

y usando lo anterior vemos que debe ser hermítica, es decir (motivando el factor extra ). Las matrices hermíticas son (hasta el factor ) los generadores del grupo unitario. De manera más general, si la derivada covariante de calibración conserva un grupo de calibración que actúa con representación , la conexión covariante de calibración se puede escribir como ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu a}^{b}={A_{\mu b}^{a}}^{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (D_{\mu }\phi )_{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu }^{K}\rho '(t_{K})_{a}^{b}\phi _{b}}$

donde es la representación del álgebra de Lie asociada a la representación del grupo (loc. cit.). ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \rho }$

Obsérvese que, al incluir la derivada covariante de calibre (o su potencial de calibre ), como un campo físico, "campo con derivada covariante de calibre cero a lo largo de la tangente de una curva ". ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}\phi =({\frac {d}{dt}}\gamma ^{\mu })D_{\mu }\phi =0}$

es una definición físicamente significativa de una constante de campo a lo largo de una curva (suave). Por lo tanto, la derivada covariante de calibre define (y es definida por) el transporte paralelo . ${\displaystyle \phi }$

Intensidad de campo de medición

A diferencia de las derivadas parciales, las derivadas covariantes de norma no conmutan. Sin embargo, casi lo hacen en el sentido de que el conmutador no es un operador de orden 2 sino de orden 0, es decir, es lineal sobre funciones:

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }](f\phi )=(\partial _{\mu }\partial _{\nu }f)\phi +\partial _{\nu }fD_{\mu }\phi +\partial _{\mu }fD_{\nu }\phi +fD_{\mu }D_{\nu }\phi -(\mu \leftrightarrow \nu )=f[D_{\mu },D_{\nu }]\phi }$.

El mapa lineal

${\displaystyle F_{\mu \nu }=-1/(ig)[D_{\mu },D_{\nu }]}$

se denomina intensidad de campo de calibración (loc. cit.). En notación de índice, utilizando el potencial de calibración

${\displaystyle F_{\mu \nu \,b}^{\ a}=\partial _{\mu }A_{\nu b}^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu b}^{a}-ig(A_{\mu c}^{a}A_{\nu b}^{c}-A_{\nu c}^{a}A_{\mu b}^{c})}$.

Si es una derivada covariante de G, se puede interpretar el último término como un conmutador en el álgebra de Lie de G y como un álgebra de Lie valorada (loc. cit). ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

Invariancia bajo transformaciones de calibre

La derivada covariante de calibre se transforma covariantemente bajo transformaciones de calibre, es decir, para todas ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle D_{\mu }\phi (x)\rightarrow D'_{\mu }\phi '(x)=D'_{\mu }U(x)\phi (x)=U(x)D_{\mu }\phi (x),}$

que en forma de operador toma la forma

${\displaystyle D'_{\mu }U(x)=U(x)D_{\mu }}$

o

${\displaystyle D'_{\mu }=U(x)D_{\mu }U^{-1}(x).}$

En particular (suprimir la dependencia de ) ${\displaystyle x}$

${\displaystyle -igF'_{\mu \nu }=[D'_{\mu },D'_{\nu }]=[UD_{\mu }U^{-1},UD_{\nu }U^{-1}]=U[D_{\mu },D_{\nu }]U^{-1}=-igUF_{\mu \nu }U^{-1}}$.

Además, (suprimiendo los índices y reemplazándolos por la multiplicación de matrices) si tiene la forma anterior, tiene la forma ${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$ ${\displaystyle D'_{\mu }}$

${\displaystyle D'_{\mu }=\partial _{\mu }+(\partial _{\mu }U^{-1})U-igUA_{\mu }U^{-1}}$

o usando , ${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)}}$

${\displaystyle D'_{\mu }=\partial _{\mu }-i\partial _{\mu }\alpha -igUA_{\mu }U^{-1}}$

que también es de esta forma.

En el caso hermítico con un grupo de calibre unitario y hemos encontrado un operador diferencial de primer orden con un término de primer orden tal que ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }D_{\mu }\phi \rightarrow \phi '^{\dagger }D'_{\mu }\phi '=\phi ^{\dagger }D_{\mu }\phi .}$.

Teoría de calibre

En la teoría de calibre , que estudia una clase particular de campos que son importantes en la teoría cuántica de campos , se utilizan diferentes campos en las lagrangianas que son invariantes ante transformaciones de calibre locales. Los términos cinéticos implican derivadas de los campos que, según los argumentos anteriores, deben implicar derivadas covariantes de calibre.

Teoría de calibre abeliana

La derivada covariante de calibre en un campo escalar complejo (es decir, ) de carga es una conexión. El potencial de calibre es una matriz (1 x 1), es decir, un escalar. ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{1}\varphi ^{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle (D_{\mu }\phi )_{1}=(\partial _{\mu }\phi _{1}-iqA_{\mu }\phi _{1})}$

La intensidad del campo de medición es

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

El potencial de calibre se puede interpretar como un potencial electromagnético de cuatro polos y la intensidad del campo de calibre como el tensor de campo electromagnético . Dado que esto solo involucra la carga del campo y no multipolos superiores como el momento magnético (y de una manera vaga y no única, porque reemplaza por ^[12] ), esto se llama acoplamiento mínimo . ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$

Para un campo de carga de espinor de Dirac, la derivada covariante también es una conexión (porque tiene que conmutar con las matrices gamma) y se define como ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle (D_{\mu }\psi )_{\alpha }:=(\partial _{\mu }-iqA_{\mu })\psi _{\alpha }}$

donde nuevamente se interpreta como el potencial electromagnético de cuatro lados y como el tensor de campo electromagnético. (El signo menos es una convención válida para una firma métrica de Minkowski (−, +, +, +) , que es común en la relatividad general y se utiliza a continuación. Para la convención de física de partículas (+, −, −, −) , es . La carga del electrón se define negativamente como , mientras que el campo de Dirac se define para transformarse positivamente como ) ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }}$ ${\displaystyle q_{e}=-|e|}$ ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).}$

Electrodinámica cuántica

Si una transformación de calibre se da por

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi }$

y para el potencial de calibre

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+{1 \over e}(\partial _{\mu }\Lambda )}$

luego se transforma como ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )}$,

y se transforma como ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }D_{\mu }\psi }$

y se transforma como ${\displaystyle {\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}e^{-i\Lambda }}$

de modo que

${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$

y en la QED el lagrangiano es por lo tanto invariante de calibre, y la derivada covariante de calibre recibe este nombre de manera apropiada. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$

Por otra parte, la derivada no covariante no preservaría la simetría de calibre del lagrangiano, ya que ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi +i{\bar {\psi }}(\partial _{\mu }\Lambda )\psi }$.

Cromodinámica cuántica

En cromodinámica cuántica , la derivada covariante de calibre es ^[13]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-ig_{s}\,G_{\mu }^{\alpha }\,\lambda _{\alpha }/2}$

donde es la constante de acoplamiento de la interacción fuerte, es el campo de calibración de gluones , para ocho gluones diferentes , y donde es una de las ocho matrices de Gell-Mann . Las matrices de Gell-Mann dan una representación del grupo de simetría de color SU(3) . Para los quarks, la representación es la representación fundamental , para los gluones, la representación es la representación adjunta . ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha =1\dots 8}$ ${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$

Modelo estándar

La derivada covariante del Modelo Estándar combina las interacciones electromagnética, débil y fuerte. Puede expresarse de la siguiente forma: ^[14]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-i{\frac {g'}{2}}Y\,B_{\mu }-i{\frac {g}{2}}\sigma _{j}\,W_{\mu }^{j}-i{\frac {g_{s}}{2}}\lambda _{\alpha }\,G_{\mu }^{\alpha }}$

Los campos de calibración pertenecen aquí a las representaciones fundamentales del grupo de Lie electrodébil multiplicado por el grupo de Lie de simetría de color SU(3) . La constante de acoplamiento proporciona el acoplamiento de la hipercarga al bosón y el acoplamiento a través de los tres bosones vectoriales al isospín débil, cuyos componentes se escriben aquí como matrices de Pauli . A través del mecanismo de Higgs , estos campos de bosones se combinan en el campo electromagnético sin masa y los campos para los tres bosones vectoriales masivos y . ${\displaystyle U(1)\times SU(2)}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle W^{j}}$ ${\displaystyle (j=1,2,3)}$ ${\displaystyle \sigma _{j}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle W^{\pm }}$ ${\displaystyle Z}$

Relatividad general

La derivada covariante en la relatividad general es un ejemplo especial de la derivada covariante de norma. Corresponde a la conexión de Levi Civita (una conexión especial de Riemann ) en el fibrado tangente (o fibrado de marco ), es decir, actúa sobre campos de vectores tangentes o, de manera más general, sobre tensores. Suele escribirse como en lugar de . En este caso especial, una elección de coordenadas (locales) no solo da derivadas parciales , sino que también funcionan como un marco de vectores tangentes en el que un campo vectorial puede expresarse de forma única como (esto utiliza la definición de un campo vectorial como un operador en funciones suaves que satisface una regla del producto, es decir, una derivación ). Por lo tanto, en este caso "los índices internos también son índices de espacio-tiempo". Hasta una normalización (y notación) ligeramente diferente, el potencial de norma es el símbolo de Christoffel definido por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{d}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots \partial _{d}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=v^{\mu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\partial _{\nu }=\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\partial _{\lambda }}$.

Da la derivada covariante

${\displaystyle (\nabla _{\mu }v)^{\nu }=(\nabla _{\mu }(v^{\lambda }\partial _{\lambda }))^{\nu }=((\partial _{\mu }v^{\lambda })\partial _{\lambda }+v^{\lambda }(\nabla _{\mu }\partial _{\lambda }))^{\nu }=\partial _{\mu }v^{\nu }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }v^{\lambda }}$.

La similitud formal con la derivada covariante de calibración es más clara cuando la elección de coordenadas se desacopla de la elección del marco de los campos vectoriales . Especialmente cuando el marco es ortonormal, dicho marco se suele llamar d-Bein . Entonces ${\displaystyle e_{1}=e_{1}^{\mu }\partial _{\mu },\ldots ,e_{d}=e_{d}^{\mu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle (\nabla _{\mu }v)^{n}=(\nabla _{\mu }(v^{\ell }e_{\ell }))^{n}=((\partial _{\mu }v^{\ell })e_{\ell }+v^{\ell }(\nabla _{\mu }e_{\ell }))^{n}=\partial _{\mu }v^{n}+\Gamma _{\mu \ell }^{n}v^{\ell }}$

donde . El análogo directo de la "libertad de calibración" de la derivada covariante de calibración es la arbitrariedad de la elección de un d-Bein ortonormal en cada punto del espacio-tiempo : invariancia de Lorentz local ^{[ cita requerida ]} . Sin embargo, en este caso la independencia más general de la elección de coordenadas para la definición de la conexión de Levi Civita da lugar al difeomorfismo o invariancia general de coordenadas. ${\displaystyle \nabla _{\mu }e_{m}=\Gamma _{\mu m}^{\ell }e_{\ell }}$

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la derivada covariante de calibre de un fluido puede definirse como

${\displaystyle \nabla _{t}\mathbf {v} :=\partial _{t}\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

donde es un campo vectorial de velocidad de un fluido. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Véase también

• Momento cinético
• Conexión (matemáticas)
• Acoplamiento mínimo
• Cálculo de Ricci

Referencias

1. LD Faddeev, AA Slavnov, Campos de calibre: Introducción a la teoría de calibre , (1980) Benjamin Cummings, ISBN  0-8053-9016-2
2. Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, Teoría cuántica de campos (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3 
3. Warren Siegel, Campos (1999) ArXiv
4. Richard S. Palais, La geometrización de la física (1981), Notas de clase, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Tsing Hua
5. ME Mayer, "Reseña: David D. Bleecker, teoría de calibre y principios variacionales", Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 9 (1983), n.º 1, 83--92
6. Alexandre Guay, Aspectos geométricos de la simetría de calibre local (2004)
7. Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler, Gravitación , (1973) WH Freeman and Company
8. David Bleecker, "Teoría de calibres y principios variacionales Archivado el 9 de julio de 2021 en Wayback Machine " (1982) D. Reidel Publishing (Ver capítulo 3 )
9. David Bleecker, op. cit. ( Véase el capítulo 6. )
10. Meinhard E. Mayer, "Fibrados principales versus grupoides de Lie en la teoría de calibre", (1990) en Métodos geométricos diferenciales en física teórica , volumen 245, págs. 793-802
11. Peskin, Michael, E.; Schroeder, Daniel, V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Addison Wesley. págs. 78, 490.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Jenkins, Elisabeth E.; Manohar, Aneesh V.; Trott, Michael (2013). "Sobre la invariancia de calibre y el acoplamiento mínimo" (PDF) . Journal of High Energy Physics . 2013 (9). Springer. doi :10.1007/JHEP09(2013)063. S2CID  256013401.
13. "Cromodinámica cuántica (QCD)".
14. Véase, por ejemplo, la ecuación 3.116 en C. Tully, Elementary Particle Physics in a Nutshell , 2011, Princeton University Press.

• Tsutomu Kambe, Principio de calibre para fluidos ideales y principio variacional . (Archivo PDF.)