Conexión afín en el haz tangente de una variedad.
En la geometría riemanniana o pseudoriemanniana (en particular, la geometría lorentziana de la relatividad general ), la conexión Levi-Civita es la única conexión afín en el haz tangente de una variedad (es decir, conexión afín ) que preserva la métrica ( pseudo ) riemanniana y está libre de torsión .
El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que existe una conexión única que satisface estas propiedades.
En la teoría de las variedades riemannianas y pseudoriemannianas, el término derivada covariante se utiliza a menudo para la conexión Levi-Civita. Los componentes (coeficientes de estructura) de esta conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel .
Historia
La conexión Levi-Civita lleva el nombre de Tullio Levi-Civita , aunque originalmente "descubierta" por Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, [1] junto con Gregorio Ricci-Curbastro , utilizaron los símbolos de Christoffel [2] para definir la noción de transporte paralelo y explorar la relación del transporte paralelo con la curvatura , desarrollando así la noción moderna de holonomía . [3]
En 1869, Christoffel descubrió que las componentes de la derivada intrínseca de un campo vectorial, al cambiar el sistema de coordenadas, se transforman en las componentes de un vector contravariante. Este descubrimiento fue el verdadero comienzo del análisis tensorial.
En 1906, LEJ Brouwer fue el primer matemático en considerar el transporte paralelo de un vector para el caso de un espacio de curvatura constante . [4] [5]
En 1917, Levi-Civita señaló su importancia para el caso de una hipersuperficie inmersa en un espacio euclidiano , es decir, para el caso de una variedad de Riemann incrustada en un espacio ambiental "más grande". [1] Interpretó la derivada intrínseca en el caso de una superficie incrustada como el componente tangencial de la derivada habitual en el espacio afín ambiental. Las nociones de Levi-Civita de derivada intrínseca y desplazamiento paralelo de un vector a lo largo de una curva tienen sentido en una variedad riemanniana abstracta, aunque la motivación original se basaba en una incrustación específica.![{\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En 1918, independientemente de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obtuvo resultados análogos. [6] En el mismo año, Hermann Weyl generalizó los resultados de Levi-Civita. [7] [8]
Notación
La métrica g puede tomar hasta dos vectores o campos vectoriales X , Y como argumentos. En el primer caso , la salida es un número, el (pseudo) producto interno de X e Y. En el último caso, el producto interno de X p , Y p se toma en todos los puntos p de la variedad de modo que g ( X , Y ) defina una función suave en M . Los campos vectoriales actúan (por definición) como operadores diferenciales en funciones suaves. En coordenadas locales , la acción dice![{\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _ {i}f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde se utiliza la convención de suma de Einstein .
Definición formal
Una conexión afín se llama conexión Levi-Civita si![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- conserva la métrica , es decir ,.
![{\displaystyle \nabla g=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- está libre de torsión , es decir, para cualquier campo vectorial y tenemos , ¿dónde está el corchete de Lie de los campos vectoriales ?
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La condición 1 anterior a veces se denomina compatibilidad con la métrica , y la condición 2 a veces se denomina simetría, cf. Haz el texto de Carmo. [9]
Teorema fundamental de la geometría (pseudo)riemanniana
Teorema Cada variedad (pseudo)riemanniana tiene una conexión única de Levi Civita .![{\displaystyle (M,g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba : Para demostrar la unicidad, desentrañe la definición de la acción de una conexión sobre los tensores para encontrar
.
Por tanto, se puede escribir la condición que preserva la métrica como![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Por la simetría de ,![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Por lo tanto, por libertad de torsión, el lado derecho es igual a
.
Así, la fórmula de Koszul
![{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+ Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([ Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Grande \}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
sostiene. Por lo tanto, si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única, porque es arbitraria, no degenerada y el lado derecho no depende de . ![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para probar la existencia, tenga en cuenta que para un campo vectorial dado y , el lado derecho de la expresión de Koszul es lineal sobre funciones suaves en el campo vectorial , no solo real-lineal. Por lo tanto, por la no degeneración de , el lado derecho define de forma única algún nuevo campo vectorial que se denota sugerentemente como en el lado izquierdo. Al sustituir la fórmula de Koszul, ahora se comprueba que para todos los campos vectoriales y todas las funciones ,![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{X}Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X,Y,Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X} Y_{2},Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _ {X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _ {X}Y,Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _ {X}Y,Z)-g(\nabla _ {Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, la expresión Koszul define, de hecho, una conexión, y esta conexión es compatible con la métrica y está libre de torsión, es decir, es una conexión Levi-Civita.
Con pequeñas variaciones, la misma prueba demuestra que existe una conexión única que es compatible con la métrica y tiene torsión prescrita.
Símbolos de Christoffel
Sea una conexión afín en el paquete tangente. Elija coordenadas locales con campos vectoriales de base de coordenadas y escriba para . Los símbolos de Christoffel con respecto a estas coordenadas se definen como![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{1},\ldots,x^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _ {1}, \ldots, \partial _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los símbolos de Christoffel, por el contrario, definen la conexión en la vecindad de coordenadas porque![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&= X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k} )\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j} (Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{ \bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
eso es,
![{\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una conexión afín es compatible con una métrica iff![{\displaystyle \nabla }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j} ,\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l} ,\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es decir, si y sólo si
![{\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una conexión afín ∇ está libre de torsión si y solo
![{\displaystyle \nabla _ {j}\partial _ {k}-\nabla _ {k}\partial _ {j}=(\Gamma _ {jk}^{l}-\Gamma _ {kj}^{l })\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es decir, si y sólo si
![{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es simétrico en sus dos índices inferiores.
Como se verifica tomando campos vectoriales de coordenadas (o calculando directamente), la expresión de Koszul de la conexión Levi-Civita derivada anteriormente es equivalente a una definición de los símbolos de Christoffel en términos de la métrica como![{\displaystyle X,Y,Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_ {rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde como es habitual están los coeficientes del tensor métrico dual, es decir, las entradas de la inversa de la matriz .![{\displaystyle g^{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle g_ {kl}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Derivada a lo largo de la curva
La conexión Levi-Civita (como cualquier conexión afín) también define una derivada a lo largo de curvas , a veces denotada por D.
Dada una curva suave γ en ( M , g ) y un campo vectorial V a lo largo de γ su derivada está definida por
![{\displaystyle D_{t}V=\nabla _ {{\dot {\gamma }}(t)}V.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Formalmente, D es la conexión de retroceso γ *∇ en el paquete de retroceso γ * TM .
En particular, es un campo vectorial a lo largo de la propia curva γ . Si desaparece, la curva se llama geodésica de la derivada covariante. Formalmente, la condición se puede reformular como la desaparición de la conexión de retroceso aplicada a :![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si la derivada covariante es la conexión Levi-Civita de una determinada métrica, entonces las geodésicas para la conexión son precisamente aquellas geodésicas de la métrica que están parametrizadas proporcionalmente a su longitud de arco.
Transporte paralelo
En general, el transporte paralelo a lo largo de una curva con respecto a una conexión define isomorfismos entre los espacios tangentes en los puntos de la curva. Si la conexión es una conexión de Levi-Civita, entonces estos isomorfismos son ortogonales , es decir, conservan los productos internos en los distintos espacios tangentes.
Las imágenes siguientes muestran el transporte paralelo inducido por la conexión Levi-Civita asociada a dos métricas riemannianas diferentes en el plano perforado . La curva por la que se realiza el transporte paralelo es el círculo unitario. En coordenadas polares , la métrica de la izquierda es la métrica euclidiana estándar , mientras que la métrica de la derecha lo es . La primera métrica se extiende a todo el plano, pero la segunda métrica tiene una singularidad en el origen:
![{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Advertencia: Este es un transporte paralelo en el plano perforado a lo largo del círculo unitario, no un transporte paralelo en el círculo unitario. De hecho, en la primera imagen, los vectores caen fuera del espacio tangente al círculo unitario.
Ejemplo: la esfera unitaria enR 3
Sea ⟨, ⟩ el producto escalar habitual en R 3 . Sea S 2 la esfera unitaria en R 3 . El espacio tangente a S 2 en un punto m se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de R 3 que consta de todos los vectores ortogonales a m . De ello se deduce que un campo vectorial Y en S 2 puede verse como un mapa Y : S 2 → R 3 , que satisface![{\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Denotemos como d m Y el diferencial del mapa Y en el punto m . Entonces tenemos:
Lema : la fórmula
define una conexión afín en S 2 con torsión evanescente.![{\displaystyle \left(\nabla _ {X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
PruebaEs sencillo demostrar que ∇ satisface la identidad de Leibniz y es C ∞ ( S 2 ) lineal en la primera variable. También es un cálculo sencillo demostrar que esta conexión está libre de torsión. Así que todo lo que hay que demostrar aquí es que la fórmula anterior produce un campo vectorial tangente a S 2 . Es decir, necesitamos demostrar que para todo m en S 2
Considere el mapa f que envía cada m en S 2 a ⟨ Y ( m ), m ⟩ , que siempre es 0. El mapa f es constante, por lo tanto su diferencial desaparece . En particular,
sigue la ecuación (1) anterior. QED![{\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _ {X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m) {\bigr\rangle }=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De hecho, esta conexión es la conexión Levi-Civita para la métrica en S2 heredada de R3 . De hecho, se puede comprobar que esta conexión preserva la métrica.
Comportamiento bajo reescalado conforme
Si la métrica en una clase conforme se reemplaza por la métrica reescalada conforme de la misma clase , entonces la conexión Levi-Civita se transforma de acuerdo con la regla [10]
donde está el campo vectorial gradiente de, es decir, el campo vectorial dual a , en local. coordenadas dadas por . De hecho, es trivial comprobar que está libre de torsión. Para verificar la metricidad, supongamos que es constante. En ese caso,![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )Xg(X,Y)\mathrm {grad} _ g}(\gamma).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {graduado} _ {g}(\gamma)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g^{ik}(\partial _ {i}\gamma )\partial _ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(Y,Y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac { 1}{2}}X({\sombrero {g}}(Y,Y)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como aplicación, considere nuevamente la esfera unitaria, pero esta vez bajo proyección estereográfica , de modo que la métrica (en coordenadas complejas de Fubini-Estudio ) sea:
Esto muestra la métrica de la esfera como conformemente plana, con la métrica euclidiana , con . Tenemos , y así
Con el gradiente euclidiano , tenemos
Estas relaciones, junto con sus complejos conjugados, definen los símbolos de Christoffel para las dos esferas.![{\displaystyle z,{\bar {z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+ z{\bar {z}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+ z\parcial _{\bar {z}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _ {z}}\partial _ {\bar {z}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ ab Levi-Civita, Tullio (1917). "Nozione di paralelosmo in una varietà qualunque" [La noción de paralelismo sobre cualquier variedad]. Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano). 42 : 173-205. doi :10.1007/BF03014898. JFM 46.1125.02. S2CID 122088291.
- ^ Christoffel, Elwin B. (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1869 (70): 46–70. doi :10.1515/crll.1869.70.46. S2CID 122999847.
- ^ Véase Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen II) . Publicar o morir Prensa. pag. 238.ISBN 0-914098-71-3.
- ^ Brouwer, LEJ (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Verslagen . 15 : 75–94.
- ^ Brouwer, LEJ (1906). "El campo de fuerzas de los espacios no euclidianos con curvatura negativa". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Procedimientos . 9 : 116-133. Código bibliográfico : 1906KNAB....9..116B.
- ^ Schouten, Jan Arnoldus (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . 12 (6): 95.
- ^ Weyl, Hermann (1918). "Gravitación y electricidad". Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.
- ^ Weyl, Hermann (1918). "Reine geometría infinitesimal". Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. Código Bib : 1918MatZ....2..384W. doi :10.1007/bf01199420. S2CID 186232500.
- ^ Carmo, Manfredo Perdigão do (1992). Geometría riemanniana. Francisco J. Flaherty. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3490-8. OCLC 24667701.
- ^ Arturo Besse (1987). Variedades de Einstein . Saltador. pag. 58.
Referencias
Enlaces externos
- "Conexión Levi-Civita", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- MathWorld: Conexión Levi-Civita
- PlanetMath: Conexión Levi-Civita
- Conexión Levi-Civita en el Manifold Atlas