R4 exótico

Un espacio homeomorfo suave de 4 variedades pero no difeomorfo al espacio euclidiano

En matemáticas , una exótica es una variedad diferenciable que es homeomorfa (es decir, que conserva la forma) pero no difeomorfa (es decir, no suave) con respecto al espacio euclidiano. Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, utilizando el contraste entre los teoremas de Freedman sobre 4 variedades topológicas y teoremas de Simon Donaldson sobre 4 variedades suaves. ^{[1] [2]} Existe un continuo de estructuras diferenciables no difeomorfas , como lo demostró por primera vez Clifford Taubes . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

 Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras lisas no difeomorfas en esferas ( esferas exóticas ), aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de las 4 esferas seguía abierta (y sigue abierta hasta 2023). ). Para cualquier entero positivo n distinto de 4, no hay estructuras suaves exóticas; en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad suave homeomorfa a es difeomorfa a ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Pequeña y exótica R 4 s

Un exótico se llama pequeño si puede integrarse sin problemas como un subconjunto abierto del estándar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Se puede construir un pequeño exótico comenzando con un cobordismo h de 5 dimensiones suave y no trivial (que existe mediante la prueba de Donaldson de que el teorema del cobordismo h falla en esta dimensión) y utilizando el teorema de Freedman que el teorema del cobordismo h topológico se cumple en esta dimensión. dimensión. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Gran exótico R 4 s

Un exótico se considera grande si no se puede integrar sin problemas como un subconjunto abierto del estándar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Se pueden construir ejemplos de grandes exóticos utilizando el hecho de que las 4 variedades compactas a menudo se pueden dividir como una suma topológica (según el trabajo de Freedman), pero no se pueden dividir como una suma suave (según el trabajo de Donaldson). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Michael Hartley Freedman y Laurence R. Taylor (1986) demostraron que existe un exotismo máximo en el que todos los demás pueden integrarse suavemente como subconjuntos abiertos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Estructuras exóticas relacionadas

Las manijas de Casson son homeomorfas según el teorema de Freedman (donde está el disco unitario cerrado), pero del teorema de Donaldson se deduce que no todas son difeomorfas. En otras palabras, algunas manijas de Casson son exóticas. ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

No se sabe (a partir de 2022) si hay 4 esferas exóticas o no; una 4-esfera tan exótica sería un contraejemplo de la suave conjetura generalizada de Poincaré en la dimensión 4. Algunos candidatos plausibles vienen dados por giros de Gluck .

Ver también

• Corcho Akbulut : herramienta utilizada para construir exóticos a partir de clases en ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• Atlas (topología)

Notas

1. Kirby (1989), pág. 95
2. Freedman y Quinn (1990), pág. 122
3. Taubes (1987), Teorema 1.1
4. Stallings (1962), en particular Corolario 5.2
5. Asselmeyer-Maluga, Torsten; Król, Jerzy (28 de agosto de 2014). "Gerbes abelianos, geometrías generalizadas y foliaciones de pequeños R^4 exóticos". arXiv : 0904.1276 [hep-th].

Referencias

• Freedman, Michael H .; Quinn, Frank (1990). Topología de 4 variedades . Serie Matemática de Princeton. vol. 39. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
• Freedman, Michael H .; Taylor, Laurence R. (1986). "Un suavizado universal de cuatro espacios". Revista de Geometría Diferencial . 24 (1): 69–78. doi : 10.4310/jdg/1214440258 . ISSN  0022-040X. SEÑOR  0857376.
• Kirby, Robion C. (1989). La topología de 4 variedades . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1374. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2.
• Scorpan, Alexandru (2005). El mundo salvaje de las 4 variedades . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-3749-8.
• Puestos, John (1962). "La estructura lineal por partes del espacio euclidiano". Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 58 (3): 481–488. Código Bib : 1962PCPS...58..481S. doi :10.1017/s0305004100036756. S2CID  120418488. Señor 0149457
• Gompf, Robert E .; Stipsicz, András I. (1999). 4 variedades y cálculo de Kirby . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 20. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0994-6.
• Taubes, Clifford Henry (1987). "Teoría de calibre en 4 variedades asintóticamente periódicas". Revista de Geometría Diferencial . 25 (3): 363–430. doi : 10.4310/jdg/1214440981 . SEÑOR  0882829. PE  1214440981.