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John R. Stallings

John Robert Stallings Jr. (22 de julio de 1935 - 24 de noviembre de 2008) fue un matemático conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría de grupos geométricos y la topología de 3 variedades . Stallings era profesor emérito en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley [1] , donde había sido miembro de la facultad desde 1967. [1] Publicó más de 50 artículos, predominantemente en las áreas de teoría geométrica de grupos y topología. de 3 colectores . Las contribuciones más importantes de Stallings incluyen una prueba, en un artículo de 1960, de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que seis y una prueba, en un artículo de 1971, del teorema de Stallings sobre extremos de grupos .

Biografía

John Stallings nació el 22 de julio de 1935 en Morrilton, Arkansas . [1]

Stallings recibió su B.Sc. de la Universidad de Arkansas en 1956 (donde fue uno de los dos primeros graduados en el programa de honores de la universidad) [2] y recibió un doctorado. en Matemáticas de la Universidad de Princeton en 1959 bajo la dirección de Ralph Fox . [1]

Después de completar su doctorado, Stallings ocupó varios puestos postdoctorales y docentes, incluido el de becario postdoctoral de la NSF en la Universidad de Oxford , así como un puesto de instructor y docente en Princeton. Stallings se unió a la Universidad de California en Berkeley como miembro de la facultad en 1967, donde permaneció hasta su jubilación en 1994. [1] Incluso después de su jubilación, Stallings continuó supervisando a los estudiantes graduados de UC Berkeley hasta 2005. [3] Stallings era un Alfred P. Becario de investigación Sloan de 1962 a 1965 y becario del Instituto Miller de 1972 a 1973. [1] A lo largo de su carrera, Stallings tuvo 22 estudiantes de doctorado, incluidos Marc Culler , Stephen M. Gersten y J. Hyam Rubinstein , y 100 descendientes de doctorados. . Publicó más de 50 artículos, predominantemente en las áreas de teoría de grupos geométricos y topología de 3 variedades .

Stallings pronunció un discurso invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza en 1970 [4] y una conferencia James K. Whittemore en la Universidad de Yale en 1969. [5]

Stallings recibió el premio Frank Nelson Cole en Álgebra de la Sociedad Matemática Estadounidense en 1970. [6]

La conferencia "Aspectos geométricos y topológicos de la teoría de grupos", celebrada en el Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas de Berkeley en mayo de 2000, estuvo dedicada al 65º cumpleaños de Stallings. [7] En 2002, un número especial de la revista Geometriae Dedicata fue dedicado a Stallings con motivo de su 65 cumpleaños. [8] Stallings murió de cáncer de próstata el 24 de noviembre de 2008. [3] [9]

Aportes matemáticos

La mayoría de las contribuciones matemáticas de Stallings se encuentran en las áreas de la teoría de grupos geométricos y la topología de baja dimensión (particularmente la topología de 3 variedades ) y en la interacción entre estas dos áreas.

Uno de los primeros resultados significativos de Stallings es su prueba de 1960 [10] de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que seis . (La prueba de Stallings se obtuvo independientemente y poco después de la prueba diferente de Stephen Smale , quien estableció el mismo resultado en dimensiones mayores que cuatro [11] ).

Utilizando métodos "envolventes" similares a los de su prueba de la conjetura de Poincaré para n > 6, Stallings demostró que el espacio euclidiano n -dimensional ordinario tiene una estructura única lineal por partes, por lo tanto también suave, si n no es igual a 4. Esto Adquirió mayor importancia cuando, como consecuencia del trabajo de Michael Freedman y Simon Donaldson en 1982, se demostró que el 4-espacio tiene estructuras exóticas y suaves , de hecho, innumerables.

En un artículo de 1963 [12] Stallings construyó un ejemplo de un grupo presentado finitamente con un grupo de homología integral tridimensional generado infinitamente y, además, no del tipo , es decir, que no admite un espacio de clasificación con un esqueleto tridimensional finito. Este ejemplo pasó a denominarse grupo de Stallings y es un ejemplo clave en el estudio de las propiedades homológicas de finitud de los grupos. Robert Bieri demostró posteriormente [13] que el grupo Stallings es exactamente el núcleo del homomorfismo del producto directo de tres copias del grupo libre al grupo aditivo de números enteros que envía a los seis elementos provenientes de la elección de bases libres para el tres copias de . Bieri también demostró que el grupo Stallings encaja en una secuencia de ejemplos de grupos de tipo pero no de tipo . El grupo Stallings es un objeto clave en la versión de la teoría discreta de Morse para complejos cúbicos desarrollada por Mladen Bestvina y Noel Brady [14] y en el estudio de subgrupos de productos directos de grupos límite. [15] [16] [17]

El teorema de Stallings más famoso en teoría de grupos es una caracterización algebraica de grupos con más de un extremo (es decir, con más de un "componente conectado en el infinito"), que ahora se conoce como teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos . Stallings demostró que un grupo G generado finitamente tiene más de un extremo si y sólo si este grupo admite una división no trivial como un producto libre amalgamado o como una extensión HNN sobre un grupo finito (es decir, en términos de la teoría de Bass-Serre , si y sólo si el grupo admite una acción no trivial sobre un árbol con estabilizadores de borde finitos). Más precisamente, el teorema establece que un grupo G generado finitamente tiene más de un extremo si y sólo si G admite una división como un producto libre amalgamado , donde el grupo C es finito y , o G admite una división como una extensión HNN. donde son subgrupos finitos de H .

Stallings demostró este resultado en una serie de trabajos, primero abordando el caso sin torsión (es decir, un grupo sin elementos no triviales de orden finito ) [18] y luego con el caso general. [5] [19] El teorema de Stalling arrojó una solución positiva al problema abierto de larga data sobre la caracterización de grupos finitamente generados de dimensión cohomológica uno como exactamente grupos libres . [20] El teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos se considera uno de los primeros resultados de la teoría geométrica de grupos propiamente dicha, ya que conecta una propiedad geométrica de un grupo (tener más de un extremo) con su estructura algebraica (que admite una división sobre un subgrupo finito). ). El teorema de Stallings generó muchas demostraciones alternativas posteriores por parte de otros matemáticos (por ejemplo, [21] [22] ), así como muchas aplicaciones (por ejemplo, [23] ). El teorema también motivó varias generalizaciones y versiones relativas del resultado de Stallings a otros contextos, como el estudio de la noción de extremos relativos de un grupo con respecto a un subgrupo, [24] [25] [26] incluyendo una conexión con CAT (0) complejos cúbicos . [27] En un artículo de 2003 de CTC Wall se ofrece un estudio exhaustivo que analiza, en particular, numerosas aplicaciones y generalizaciones del teorema de Stallings . [28]

Otro artículo influyente de Stallings es su artículo de 1983 "Topología de gráficos finitos". [29] Tradicionalmente, la estructura algebraica de subgrupos de grupos libres se ha estudiado en la teoría combinatoria de grupos utilizando métodos combinatorios, como el método de reescritura de Schreier y las transformaciones de Nielsen . [30] El artículo de Stallings propuso un enfoque topológico basado en los métodos de cobertura de la teoría espacial que también utilizaba un marco teórico de grafos simple . El artículo introdujo la noción de lo que ahora se conoce comúnmente como gráfico de subgrupos de Stallings para describir subgrupos de grupos libres, y también introdujo una técnica de plegado (utilizada para aproximar y obtener algorítmicamente los gráficos de subgrupos) y la noción de lo que ahora se conoce como gráfico de subgrupos de Stallings. Puestos plegables . La mayoría de los resultados clásicos sobre subgrupos de grupos libres adquirieron pruebas simples y directas en esta configuración y el método de Stallings se ha convertido en la herramienta estándar en la teoría para estudiar la estructura de subgrupos de grupos libres, incluidas las preguntas algebraicas y algorítmicas (ver [31 ] ). En particular, los gráficos de subgrupos de Stallings y los plegamientos de Stallings se han utilizado como herramientas clave en muchos intentos de abordar la conjetura de Hanna Neumann . [32] [33] [34] [35]

Los gráficos de subgrupos de Stallings también pueden verse como autómatas de estados finitos [31] y también han encontrado aplicaciones en la teoría de semigrupos y en informática . [36] [37] [38] [39]

El método de plegado de Stallings se ha generalizado y aplicado a otros contextos, particularmente en la teoría de Bass-Serre para aproximar acciones grupales en árboles y estudiar la estructura de subgrupos de los grupos fundamentales de gráficos de grupos . El primer artículo en esta dirección fue escrito por el propio Stallings, [40] con varias generalizaciones posteriores de los métodos de plegado de Stallings en el contexto de la teoría de Bass-Serre por parte de otros matemáticos. [41] [42] [43] [44]

El artículo de Stallings de 1991 "Triángulos de grupos curvados no positivamente" [45] introdujo y estudió la noción de triángulo de grupos . Esta noción fue el punto de partida de la teoría de complejos de grupos (un análogo de dimensiones superiores de la teoría de Bass-Serre ), desarrollada por André Haefliger [46] y otros. [47] [48] El trabajo de Stallings señaló la importancia de imponer algún tipo de condiciones de "curvatura no positiva" a los complejos de grupos para que la teoría funcione bien; tales restricciones no son necesarias en el caso unidimensional de la teoría de Bass-Serre.

Entre las contribuciones de Stallings a la topología de 3 variedades , la más conocida es el teorema de fibración de Stallings . [49] El teorema establece que si M es una variedad 3 compacta irreducible cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo normal , tal que este subgrupo se genera finitamente y tal que el grupo cociente por este subgrupo es cíclico infinito , entonces M fibras sobre un círculo . Este es un resultado estructural importante en la teoría de las variedades de Haken que generó muchas pruebas, generalizaciones y aplicaciones alternativas (por ejemplo, [50] [51] [52] [53] ), incluido un análogo de dimensiones superiores. [54]

Un artículo de Stallings de 1965 "Cómo no probar la conjetura de Poincaré" [55] ofreció una reformulación teórica de grupos de la famosa conjetura de Poincaré . El periódico comenzaba con una confesión humorística: "He cometido el pecado de probar falsamente la conjetura de Poincaré. Pero eso fue en otro país; y además, hasta ahora, nadie lo sabía". [1] [55] A pesar de su título irónico, el artículo de Stallings informó gran parte de la investigación posterior sobre la exploración de los aspectos algebraicos de la conjetura de Poincaré (ver, por ejemplo, [56] [57] [58] [59] ).

Stallings también estaba interesado en los idiomas y escribió uno de los pocos artículos de investigación matemática en el lenguaje construido Interlingua . [60] [61]

Trabajos seleccionados

Notas

  1. ^ abcdefg El matemático John Stallings murió el año pasado a los 73 años. Comunicado de prensa de UC Berkeley , 12 de enero de 2009. Consultado el 26 de enero de 2009.
  2. ^ Todo lo académico. Volumen 3, Número 4; Noviembre de 2002.
  3. ^ ab Chang, Kenneth (18 de enero de 2009), "John R. Stallings Jr., 73, matemático de California, ha muerto", The New York Times. Consultado el 26 de enero de 2009.
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  6. ^ Premio Frank Nelson Cole de Álgebra. Sociedad Matemática Estadounidense .
  7. ^ Aspectos geométricos y topológicos de la teoría de grupos, anuncio de la conferencia Archivado el 6 de septiembre de 2008 en Wayback Machine , atlas-conferences.com
  8. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "John Stallings", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
  9. ^ Ha fallecido el profesor emérito John Stallings del Departamento de Matemáticas de UC Berkeley. Archivado el 28 de diciembre de 2008 en el anuncio de Wayback Machine en el sitio web del Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley . Consultado el 4 de diciembre de 2008.
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enlaces externos