En matemáticas, el lema de Schreier es un teorema de teoría de grupos utilizado en el algoritmo Schreier-Sims y también para encontrar una presentación de un subgrupo .
Declaración
Supongamos que es un subgrupo de , que se genera finitamente con el conjunto generador , es decir, .
Sea una transversal recta de en . En otras palabras, es (la imagen de) una sección de la función cociente , donde denota el conjunto de clases laterales rectas de en .
La definición se realiza dado que , es el representante elegido en la transversal de la clase lateral , es decir,
Entonces se genera por el conjunto
Por lo tanto, en particular, el lema de Schreier implica que cada subgrupo de índice finito de un grupo finitamente generado es a su vez finitamente generado.
Ejemplo
El grupo Z 3 = Z /3 Z es cíclico. Por el teorema de Cayley , Z 3 es un subgrupo del grupo simétrico S 3 . Ahora,
donde es la permutación identidad. Nota S 3 = { s 1 =(1 2), s 2 = (1 2 3) } .
Z 3 tiene solo dos clases laterales, Z 3 y S 3 \ Z 3 , por lo que seleccionamos la transversal { t 1 = e , t 2 =(1 2) }, y tenemos
Finalmente,
Así, por el lema del subgrupo de Schreier, { e, (1 2 3) } genera Z 3 , pero tener la identidad en el conjunto generador es redundante, por lo que se puede eliminar para obtener otro conjunto generador para Z 3 , { (1 2 3) } (como se esperaba).
Referencias
- Seress, A. Algoritmos de grupos de permutación. Cambridge University Press, 2002.