Formalismo de Gupta-Bleuler

Procedimiento de fijación del calibre

En la teoría cuántica de campos , el formalismo Gupta-Bleuler es una forma de cuantificar el campo electromagnético . La formulación se debe a los físicos teóricos Suraj N. Gupta ^[1] y Konrad Bleuler ^[2] .

Descripción general

En primer lugar, considere un solo fotón . Una base del espacio vectorial de un fotón (se explica por qué no es un espacio de Hilbert más adelante) está dada por los estados propios donde , el momento 4- es nulo ( ) y el componente, la energía, es positivo y es el vector de polarización unitario y el índice varía de 0 a 3. Por lo tanto, está determinado únicamente por el momento espacial . Usando la notación bra-ket , este espacio está equipado con una forma sesquilineal definida por ${\displaystyle |k,\epsilon _{\mu }\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=0}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \langle {\vec {k}}_{a};\epsilon _{\mu }|{\vec {k}}_{b};\epsilon _{\nu }\rangle =(-\eta _{\mu \nu })\,2|{\vec {k}}_{a}|\,\delta ({\vec {k}}_{a}-{\vec {k}}_{b})}$,

donde el factor es implementar la covarianza de Lorentz . La firma métrica utilizada aquí es +−−−. Sin embargo, esta forma sesquilineal proporciona normas positivas para polarizaciones espaciales, pero normas negativas para polarizaciones temporales. Las probabilidades negativas no son físicas, por no mencionar que un fotón físico solo tiene dos polarizaciones transversales , no cuatro. ${\displaystyle 2|{\vec {k}}_{a}|}$

Si se incluye la covarianza de calibre, se observa que un fotón puede tener tres polarizaciones posibles (dos transversales y una longitudinal [es decir, paralela al momento 4]). Esto se da por la restricción . Sin embargo, el componente longitudinal es simplemente un calibre no físico. Si bien sería bueno definir una restricción más estricta que la dada anteriormente que solo deja los dos componentes transversales, es fácil verificar que esto no se puede definir de manera covariante de Lorentz porque lo que es transversal en un marco de referencia ya no es transversal en otro. ${\displaystyle k\cdot \epsilon =0}$

Para resolver esta dificultad, primero observemos el subespacio con tres polarizaciones. La forma sesquilineal restringida a él es meramente semidefinida , lo cual es mejor que indefinida. Además, el subespacio con norma cero resulta no ser otro que los grados de libertad de norma. Por lo tanto, definamos el espacio de Hilbert físico como el espacio cociente del subespacio de tres polarizaciones por su subespacio de norma cero. Este espacio tiene una forma definida positiva , lo que lo convierte en un verdadero espacio de Hilbert.

Esta técnica se puede extender de manera similar al espacio de Fock bosónico de fotones de múltiples partículas. Utilizando el truco estándar de los operadores adjuntos de creación y aniquilación , pero con este truco del cociente, se puede formular un potencial vectorial de campo libre como una distribución valorada por operador que satisface ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }A=0}$

con la condición

${\displaystyle \langle \chi |\partial ^{\mu }A_{\mu }|\psi \rangle =0}$

para estados físicos y en el espacio de Fock (se entiende que los estados físicos son realmente clases de equivalencia de estados que difieren en un estado de norma cero). ${\displaystyle |\chi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Esto no es lo mismo que

${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$.

Nótese que si O es cualquier operador invariante de calibre,

${\displaystyle \langle \chi |O|\psi \rangle }$

no depende de la elección de los representantes de las clases de equivalencia y, por tanto, esta cantidad está bien definida.

Esto no es cierto para los operadores no invariantes de calibre en general porque el calibre de Lorenz todavía deja grados de libertad de calibre residuales.

En una teoría interactuante de la electrodinámica cuántica , la condición de calibre de Lorenz todavía se aplica, pero ya no satisface la ecuación de onda libre. ${\displaystyle A}$

Véase también

• Formalismo BRST
• Teoría cuántica de calibre
• Electrodinámica cuántica
• calibre ξ

Notas

1. Gupta 1950
2. Bleuler 1950

Referencias

• Bleuler, K. (1950), "Eine neue Methode zur Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen", Helv. Física. Acta (en alemán), 23 (5): 567–586, doi :10.5169/seals-112124 (descarga en pdf disponible){{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )
• Gupta, S. (1950), "Teoría de los fotones longitudinales en la electrodinámica cuántica", Proc. Phys. Soc. , 63A (7): 681–691, Bibcode :1950PPSA...63..681G, doi :10.1088/0370-1298/63/7/301