Gravedad de la teoría del calibre

Aproximación del álgebra geométrica a la gravedad.

La teoría de la gravedad ( GTG ) es una teoría de la gravitación expresada en el lenguaje matemático del álgebra geométrica . Para quienes están familiarizados con la relatividad general , recuerda mucho al formalismo de la tétrada, aunque existen diferencias conceptuales significativas. Lo más notable es que el fondo en GTG es plano, el espacio-tiempo de Minkowski . El principio de equivalencia no se asume, sino que se deriva del hecho de que la derivada covariante de calibre está mínimamente acoplada . Como en la relatividad general, las ecuaciones estructuralmente idénticas a las ecuaciones de campo de Einstein se pueden derivar a partir de un principio variacional . Un tensor de espín también se puede sustentar de manera similar a la teoría de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble . GTG fue propuesto por primera vez por Lasenby, Doran y Gull en 1998 ^[1] como un cumplimiento de resultados parciales presentados en 1993. ^[2] La teoría no ha sido ampliamente adoptada por el resto de la comunidad física, que en su mayoría ha optado por la teoría diferencial. enfoques de geometría como el de la teoría de la gravitación calibre relacionada .

fundamento matematico

La base de GTG proviene de dos principios. Primero, la invariancia del indicador de posición exige que los desplazamientos locales arbitrarios de los campos no afecten el contenido físico de las ecuaciones de campo. En segundo lugar, la invariancia del calibre de rotación exige que las rotaciones locales arbitrarias de los campos no afecten el contenido físico de las ecuaciones de campo. Estos principios conducen a la introducción de un nuevo par de funciones lineales, el campo indicador de posición y el campo indicador de rotación. Un desplazamiento por alguna función arbitraria f

${\displaystyle x\mapsto x'=f(x)}$

da lugar al campo de indicador de posición definido por el mapeo en su adjunto,

${\displaystyle {\bar {\mathsf {h}}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}(f^{-1}(a),f(x)),}$

que es lineal en su primer argumento y a es un vector constante. De manera similar, una rotación de algún rotor arbitrario R da lugar al campo indicador de rotación

${\displaystyle {\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)R^{\dagger }-2a\cdot \nabla RR^{\dagger }.}$

Podemos definir dos derivadas direccionales covariantes diferentes.

${\displaystyle a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))}$

${\displaystyle a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))\times }$

o con la especificación de un sistema de coordenadas

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\Omega _{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }\times ,}$

donde × denota el producto del conmutador.

El primero de estos derivados es más adecuado para tratar directamente con espinores, mientras que el segundo es más adecuado para observables . El análogo GTG del tensor de Riemann se construye a partir de las reglas de conmutación de estas derivadas.

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R}}_{\mu \nu }\psi }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R}}({\mathsf {h}}(a\wedge b))}$

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones de campo se derivan postulando que la acción de Einstein-Hilbert gobierna la evolución de los campos de calibre, es decir

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.}$

Minimizar la variación de la acción con respecto a los dos campos de calibre da como resultado las ecuaciones de campo.

${\displaystyle {\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(a),}$

donde es el tensor covariante de energía-momento y es el tensor de espín covariante . Es importante destacar que estas ecuaciones no dan una curvatura evolutiva del espacio-tiempo, sino que simplemente dan la evolución de los campos de calibre dentro del espacio-tiempo plano. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Relación con la relatividad general

Para aquellos más familiarizados con la relatividad general, es posible definir un tensor métrico a partir del campo indicador de posición de manera similar a las tétradas. En el formalismo de tétrada, se introduce un conjunto de cuatro vectores. El índice griego μ aumenta o disminuye multiplicando y contrayéndose con el tensor métrico del espacio-tiempo. El índice latino entre paréntesis (a) es una etiqueta para cada una de las cuatro tétradas, que sube y baja como si se multiplicara y contrajera con un tensor métrico de Minkowski separado. GTG, a grandes rasgos, invierte los papeles de estos índices. Se supone implícitamente que la métrica es Minkowski en la selección del álgebra espacio-temporal . La información contenida en el otro conjunto de índices queda incluida en el comportamiento de los campos de calibre. ${\displaystyle \{{e_{(a)}}^{\mu }\}}$

Podemos hacer las asociaciones.

${\displaystyle g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })}$

${\displaystyle g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })}$

para un vector covariante y un vector contravariante en un espacio-tiempo curvo, donde ahora los vectores unitarios son la base de coordenadas elegida. Estos pueden definir la métrica usando la regla. ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.}$

Siguiendo este procedimiento, es posible demostrar que en su mayor parte las predicciones observables de GTG concuerdan con la teoría de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble para el espín no evanescente y se reducen a la relatividad general para el espín evanescente. Sin embargo, GTG hace predicciones diferentes sobre las soluciones globales. Por ejemplo, en el estudio de una masa puntual, la elección de un "calibre newtoniano" produce una solución similar a la métrica de Schwarzschild en coordenadas Gullstrand-Painlevé . La relatividad general permite una extensión conocida como coordenadas Kruskal-Szekeres . GTG, por el contrario, prohíbe dicha prórroga. ^{[ ¿por qué? ]}

Referencias

1. Lasenby, Antonio; Chris Doran; Stephen Gull (1998), "Gravedad, teorías de calibre y álgebra geométrica", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc/0405033 , Bibcode : 1998RSPTA.356..487L, doi :10.1098/rsta.1998.0178, S2CID  119389813
2. Doran, Chris; Antonio Lasenby; Stephen Gull (1993), "La gravedad como teoría de calibre en el álgebra del espacio-tiempo", en F. Brackx; R. Delanghe; H. Serras (eds.), Clifford Algebras y sus aplicaciones en física matemática , págs. 375–385, doi :10.1007/978-94-011-2006-7_42, ISBN 978-0-7923-2347-1

enlaces externos

• David Hestenes: Cálculo espacio-temporal para la teoría de la gravitación: una explicación del formalismo matemático dirigido explícitamente a GTG