En física teórica , la teoría de Einstein-Cartan , también conocida como teoría de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble , es una teoría clásica de la gravitación , una de varias alternativas a la relatividad general . [1] La teoría fue propuesta por primera vez por Élie Cartan en 1922.
La teoría de Einstein-Cartan se diferencia de la relatividad general en dos aspectos:
Esta diferencia se puede tener en cuenta
primero, reformulando la relatividad general sobre una geometría de Riemann-Cartan, reemplazando la acción de Einstein-Hilbert sobre la geometría de Riemann por la acción de Palatini sobre la geometría de Riemann-Cartan; y segundo, eliminando la restricción de torsión cero de la acción de Palatini, lo que resulta en el conjunto adicional de ecuaciones para el espín y la torsión, así como la adición de términos adicionales relacionados con el espín en las propias ecuaciones de campo de Einstein.
La teoría de la relatividad general fue formulada originalmente en el contexto de la geometría de Riemann mediante la acción de Einstein-Hilbert , de la que surgen las ecuaciones de campo de Einstein . En el momento de su formulación original, no existía el concepto de geometría de Riemann-Cartan. Tampoco había un conocimiento suficiente del concepto de simetría de calibración para entender que las geometrías de Riemann no poseen la estructura necesaria para incorporar una simetría de Lorentz calibrada localmente , como se requeriría para poder expresar ecuaciones de continuidad y leyes de conservación para simetrías rotacionales y de boost, o para describir espinores en geometrías de espacio-tiempo curvas. El resultado de agregar esta infraestructura es una geometría de Riemann-Cartan. En particular, para poder describir espinores se requiere la inclusión de una estructura de espín , que es suficiente para producir dicha geometría.
La principal diferencia entre una geometría de Riemann-Cartan y una geometría de Riemann es que en la primera, la conexión afín es independiente de la métrica, mientras que en la segunda se deriva de la métrica como la conexión de Levi-Civita , y la diferencia entre las dos se denomina contorsión . En particular, la parte antisimétrica de la conexión (denominada torsión ) es cero para las conexiones de Levi-Civita, como una de las condiciones definitorias de dichas conexiones.
Como la contorsión puede expresarse linealmente en términos de la torsión, también es posible traducir directamente la acción de Einstein-Hilbert a una geometría de Riemann-Cartan, siendo el resultado la acción de Palatini (véase también la variación de Palatini ). Se obtiene reescribiendo la acción de Einstein-Hilbert en términos de la conexión afín y luego planteando por separado una restricción que fuerza a que tanto la torsión como la contorsión sean cero, lo que obliga a que la conexión afín sea igual a la conexión de Levi-Civita. Como es una traducción directa de las ecuaciones de acción y campo de la relatividad general, expresada en términos de la conexión de Levi-Civita, puede considerarse como la teoría de la relatividad general, en sí misma, transpuesta al marco de la geometría de Riemann-Cartan.
La teoría de Einstein-Cartan relaja esta condición y, en consecuencia, relaja el supuesto de la relatividad general de que la conexión afín tiene una parte antisimétrica que desaparece ( tensor de torsión ). La acción utilizada es la misma que la acción de Palatini, excepto que se elimina la restricción sobre la torsión. Esto da como resultado dos diferencias con la relatividad general:
En la teoría de Einstein-Cartan, la torsión es ahora una variable en el principio de acción estacionaria que está acoplada a una formulación de espín en el espacio-tiempo curvo (el tensor de espín ). Estas ecuaciones adicionales expresan la torsión linealmente en términos del tensor de espín asociado con la fuente de materia, lo que implica que la torsión generalmente no es cero dentro de la materia.
Una consecuencia de la linealidad es que fuera de la materia no hay torsión, de modo que la geometría exterior sigue siendo la misma que la que se describiría en la relatividad general. Las diferencias entre la teoría de Einstein-Cartan y la relatividad general (formuladas en términos de la acción de Einstein-Hilbert sobre la geometría de Riemann o de la acción de Palatini sobre la geometría de Riemann-Cartan) se basan únicamente en lo que le sucede a la geometría dentro de las fuentes de materia. Es decir: "la torsión no se propaga". Se han considerado generalizaciones de la acción de Einstein-Cartan que permiten la propagación de la torsión. [2]
Debido a que las geometrías de Riemann-Cartan tienen simetría de Lorentz como simetría de norma local, es posible formular las leyes de conservación asociadas. En particular, considerando los tensores métricos y de torsión como variables independientes se obtiene la generalización correcta de la ley de conservación para el momento angular total (orbital más intrínseco) en presencia del campo gravitacional.
La teoría fue propuesta por primera vez por Élie Cartan en 1922 [3] y expuesta en los años siguientes. [4] [5] [6] Albert Einstein se afilió a la teoría en 1928 durante su intento fallido de hacer coincidir la torsión con el tensor del campo electromagnético como parte de una teoría de campo unificado. Esta línea de pensamiento lo llevó a la teoría relacionada pero diferente del teleparalelismo . [7]
Dennis Sciama [8] y Tom Kibble [9] revisaron la teoría de forma independiente en la década de 1960, y se publicó una revisión importante en 1976. [10]
La teoría de Einstein-Cartan ha sido históricamente eclipsada por su contraparte sin torsión y otras alternativas como la teoría de Brans-Dicke porque la torsión parecía agregar poco beneficio predictivo a expensas de la manejabilidad de sus ecuaciones. Dado que la teoría de Einstein-Cartan es puramente clásica, tampoco aborda completamente la cuestión de la gravedad cuántica . En la teoría de Einstein-Cartan, la ecuación de Dirac se vuelve no lineal. [11] Aunque físicos de renombre como Steven Weinberg "nunca entendieron qué es tan importante físicamente sobre la posibilidad de torsión en geometría diferencial", otros físicos afirman que las teorías con torsión son valiosas. [12] La teoría ha influido indirectamente en la gravedad cuántica de bucles (y también parece haber influido en la teoría de twistores [13] ).
Las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general se pueden derivar postulando que la acción de Einstein-Hilbert es la verdadera acción del espacio-tiempo y luego variando esa acción con respecto al tensor métrico. Las ecuaciones de campo de la teoría de Einstein-Cartan provienen exactamente del mismo enfoque, excepto que se supone una conexión afín asimétrica general en lugar de la conexión simétrica de Levi-Civita (es decir, se supone que el espacio-tiempo tiene torsión además de curvatura ), y luego la métrica y la torsión se varían independientemente.
Sea la densidad lagrangiana de la materia y la densidad lagrangiana del campo gravitatorio. La densidad lagrangiana del campo gravitatorio en la teoría de Einstein-Cartan es proporcional al escalar de Ricci :
donde es el determinante del tensor métrico, y es una constante física que involucra la constante gravitacional y la velocidad de la luz . Por el principio de Hamilton , la variación de la acción total para el campo gravitacional y la materia se anula:
La variación con respecto al tensor métrico produce las ecuaciones de Einstein:
donde es el tensor de Ricci y es el tensor de tensión-energía-momento canónico . El tensor de Ricci ya no es simétrico porque la conexión contiene un tensor de torsión distinto de cero; por lo tanto, el lado derecho de la ecuación tampoco puede ser simétrico, lo que implica que debe incluir una contribución asimétrica que se puede demostrar que está relacionada con el tensor de espín . Este tensor de energía-momento canónico está relacionado con el tensor de energía-momento simétrico más conocido mediante el procedimiento de Belinfante–Rosenfeld .
La variación con respecto al tensor de torsión produce las ecuaciones de conexión de espín de Cartan
donde es el tensor de espín. Debido a que la ecuación de torsión es una restricción algebraica en lugar de una ecuación diferencial parcial , el campo de torsión no se propaga como una onda y se desvanece fuera de la materia. Por lo tanto, en principio la torsión puede eliminarse algebraicamente de la teoría a favor del tensor de espín, que genera una autointeracción no lineal "espín-espín" efectiva dentro de la materia. La torsión es igual a su término fuente y puede reemplazarse por un límite o una estructura topológica con una garganta como un "agujero de gusano". [14]
Recientemente, el interés en la teoría de Einstein-Cartan se ha orientado hacia las implicaciones cosmológicas , más importante aún, la evitación de una singularidad gravitacional al comienzo del universo, como en la cosmología del agujero negro , [15] el universo estático , [16] o el modelo cíclico . [17]
Los teoremas de singularidad que se basan en y formulan en el contexto de la geometría de Riemann (por ejemplo, los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking ) no necesitan cumplirse en la geometría de Riemann-Cartan. En consecuencia, la teoría de Einstein-Cartan puede evitar el problema general-relativista de la singularidad en el Big Bang . [18] [19] El acoplamiento mínimo entre torsión y espinores de Dirac genera una auto-interacción no lineal de espín-espín efectiva, que se vuelve significativa dentro de la materia fermiónica a densidades extremadamente altas. Se conjetura que tal interacción reemplaza el Big Bang singular con un Big Bounce tipo cúspide en un factor de escala mínimo pero finito , antes del cual el universo observable se estaba contrayendo. Este escenario también explica por qué el Universo actual en las escalas más grandes parece espacialmente plano, homogéneo e isótropo, proporcionando una alternativa física a la inflación cósmica . La torsión permite que los fermiones se extiendan espacialmente en lugar de ser "puntuales" , lo que ayuda a evitar la formación de singularidades como los agujeros negros , elimina la divergencia ultravioleta en la teoría cuántica de campos y conduce al modelo de anillo toroidal de electrones. [20] Según la relatividad general, el colapso gravitacional de una masa suficientemente compacta forma un agujero negro singular. En la teoría de Einstein-Cartan, en cambio, el colapso alcanza un rebote y forma un puente de Einstein-Rosen regular ( agujero de gusano ) hacia un nuevo universo en crecimiento en el otro lado del horizonte de eventos ; la producción de pares por el campo gravitacional después del rebote, cuando la torsión aún es fuerte, genera un período finito de inflación. [21] [22]
