En matemáticas , una representación afín de un grupo topológico de Lie G en un espacio afín A es un homomorfismo de grupo continuo ( suave ) de G al grupo de automorfismos de A , el grupo afín Aff( A ). De manera similar, una representación afín de un álgebra de Lie g en A es un homomorfismo de álgebra de Lie de g al álgebra de Lie aff ( A ) del grupo afín de A .
Un ejemplo es la acción del grupo euclidiano E( n ) sobre el espacio euclidiano En .
Dado que el grupo afín en la dimensión n es un grupo matricial en la dimensión n + 1, una representación afín puede considerarse como un tipo particular de representación lineal . Podemos preguntarnos si una representación afín dada tiene un punto fijo en el espacio afín A dado . Si es así, podemos tomarlo como origen y considerar A como un espacio vectorial ; en ese caso, en realidad tenemos una representación lineal en dimensión n . Esta reducción depende de una cuestión de cohomología de grupo , en general.