Matriz de correlación cruzada

La matriz de correlación cruzada de dos vectores aleatorios es una matriz que contiene como elementos las correlaciones cruzadas de todos los pares de elementos de los vectores aleatorios. La matriz de correlación cruzada se utiliza en varios algoritmos de procesamiento de señales digitales.

Definición

Para dos vectores aleatorios y , cada uno de los cuales contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada de y se define por ^{[1] : p.337} ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}$

y tiene dimensiones . Escrito por componentes: ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}$

Los vectores aleatorios no necesitan tener la misma dimensión y pueden ser un valor escalar. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Ejemplo

Por ejemplo, si y son vectores aleatorios, entonces es una matriz cuya entrada -ésima es . ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ ${\displaystyle 3\times 2}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

Vectores aleatorios complejos

Si y son vectores aleatorios complejos , cada uno de los cuales contiene variables aleatorias cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada de y se define por ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$

donde denota transposición hermítica . ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

Falta de correlación

Dos vectores aleatorios y se denominan no correlacionados si ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}$

No están correlacionados si y sólo si su matriz de covarianza cruzada es cero. ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

En el caso de dos vectores aleatorios complejos y se denominan no correlacionados si ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

y

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}$

Propiedades

Relación con la matriz de covarianza cruzada

La correlación cruzada está relacionada con la matriz de covarianza cruzada de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}$

Respectivamente para vectores aleatorios complejos:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

Véase también

• Autocorrelación
• La correlación no implica causalidad
• Función de covarianza
• Coeficiente de correlación producto-momento de Pearson
• Función de correlación (astronomía)
• Función de correlación (mecánica estadística)
• Función de correlación (teoría cuántica de campos)
• Información mutua
• Teoría de la distorsión de la tasa
• Función de distribución radial

Referencias

1. Gubner, John A. (2006). Probabilidad y procesos aleatorios para ingenieros eléctricos e informáticos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.

Lectura adicional

• Hayes, Monson H., Procesamiento y modelado estadístico de señales digitales , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 . 
• Solomon W. Golomb y Guang Gong . Diseño de señales para una buena correlación: para comunicaciones inalámbricas, criptografía y radar. Cambridge University Press, 2005.
• M. Soltanalian. Diseño de señales para detección activa y comunicaciones. Tesis doctorales de Uppsala de la Facultad de Ciencia y Tecnología (impresas por Elanders Sverige AB), 2014.