Realización no lineal

En física matemática, la realización no lineal de un grupo de Lie G que posee un subgrupo de Cartan H es una representación inducida particular de G. De hecho, es una representación de un álgebra de Lie de G en un entorno de su origen. Una realización no lineal, cuando se restringe al subgrupo H , se reduce a una representación lineal. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una técnica de realización no lineal es parte integral de muchas teorías de campo con ruptura espontánea de simetría , por ejemplo, modelos quirales , ruptura de simetría quiral , teoría del bosón de Goldstone , teoría clásica del campo de Higgs , teoría de gravitación de calibre y supergravedad .

Sea G un grupo de Lie y H su subgrupo de Cartan que admite una representación lineal en un espacio vectorial V . Un álgebra de Lie de G se descompone en la suma del subálgebra de Cartan de H y su suplemento , tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {f}}]\subset {\mathfrak {h}},\qquad [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {f}}.}$

(En física, por ejemplo, existen generadores vectoriales y axiales.) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$

Existe un entorno abierto U de la unidad de G tal que cualquier elemento se lleva de forma única a la forma ${\displaystyle g\in U}$

${\displaystyle g=\exp(F)\exp(I),\qquad F\in {\mathfrak {f}},\qquad I\in {\mathfrak {h}}.}$

Sea un entorno abierto de la unidad de G tal que , y sea un entorno abierto del centro H -invariante del cociente G/H que consta de elementos ${\displaystyle U_{G}}$ ${\displaystyle U_{G}^{2}\subset U}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma =g\sigma _{0}=\exp(F)\sigma _{0},\qquad g\in U_{G}.}$

Luego hay una sección local de más de . ${\displaystyle s(g\sigma _{0})=\exp(F)}$ ${\displaystyle G\to G/H}$ ${\displaystyle U_{0}}$

Con esta sección local, se puede definir la representación inducida , llamada realización no lineal , de elementos dados por las expresiones ${\displaystyle g\in U_{G}\subset G}$ ${\displaystyle U_{0}\times V}$

${\displaystyle g\exp(F)=\exp(F')\exp(I'),\qquad g:(\exp(F)\sigma _{0},v)\to (\exp(F')\sigma _{0},\exp(I')v).}$

La realización no lineal correspondiente de un álgebra de Lie de G toma la siguiente forma. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sean , las bases para y , respectivamente, junto con las relaciones de conmutación ${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{I_{a}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [I_{a},I_{b}]=c_{ab}^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },F_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },I_{b}]=c_{\alpha b}^{\beta }F_{\beta }.}$

Luego se obtiene una realización no lineal deseada de en lecturas ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\times V}$

${\displaystyle F_{\alpha }:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },F_{\alpha }(v)),\qquad I_{a}:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (I_{a}(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },I_{a}v),}$,

${\displaystyle F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })=\delta _{\alpha }^{\gamma }+{\frac {1}{12}}(c_{\alpha \mu }^{\beta }c_{\beta \nu }^{\gamma }-3c_{\alpha \mu }^{b}c_{\nu b}^{\gamma })\sigma ^{\mu }\sigma ^{\nu },\qquad I_{a}(\sigma ^{\gamma })=c_{a\nu }^{\gamma }\sigma ^{\nu },}$

hasta el segundo orden en . ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$

En los modelos físicos, los coeficientes se tratan como campos de Goldstone . De manera similar, se consideran realizaciones no lineales de superálgebras de Lie . ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$

Véase también

• Representación inducida
• Modelo quiral

Referencias

• Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, Bruno (1969-01-25). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. I". Physical Review . 177 (5). American Physical Society (APS): 2239–2247. Bibcode :1969PhRv..177.2239C. doi :10.1103/physrev.177.2239. ISSN  0031-899X.
• Joseph, A.; Solomon, AI (1970). "Transformaciones quirales no lineales globales e infinitesimales". Revista de física matemática . 11 (3). AIP Publishing: 748–761. Bibcode :1970JMP....11..748J. doi :10.1063/1.1665205. ISSN  0022-2488.
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. , Teoría clásica avanzada de campos , World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .