En matemáticas , una estructura diferencial n - dimensional (o estructura diferenciable ) en un conjunto M convierte a M en una variedad diferencial n -dimensional , que es una variedad topológica con alguna estructura adicional que permite el cálculo diferencial en la variedad. Si M ya es una variedad topológica, se requiere que la nueva topología sea idéntica a la existente.
Para un número natural n y algún k que puede ser un entero no negativo o infinito, se define una estructura diferencial C k n -dimensional [1] utilizando un C k - atlas , que es un conjunto de biyecciones llamadas cartas entre subconjuntos de M (cuya unión es el entero de M ) y subconjuntos abiertos de :
que sean compatibles con C k (en el sentido definido a continuación):
Cada gráfico permite ver un subconjunto de la variedad como un subconjunto abierto de , pero la utilidad de esto depende de cuánto concuerden los gráficos cuando sus dominios se superponen.
Consideremos dos gráficos:
La intersección de sus dominios es
cuyas imágenes bajo los dos gráficos son
El mapa de transición entre los dos gráficos se traduce entre sus imágenes en su dominio compartido:
Dos gráficos son compatibles con C k si
están abiertos y los mapas de transición
tienen derivadas parciales continuas de orden k . Si k = 0, solo requerimos que las funciones de transición sean continuas, en consecuencia un C 0 -atlas es simplemente otra forma de definir una variedad topológica. Si k = ∞, las derivadas de todos los órdenes deben ser continuas. Una familia de cartas compatibles con C k que cubran toda la variedad es un C k -atlas que define una variedad diferencial C k . Dos atlas son C k -equivalentes si la unión de sus conjuntos de cartas forma un C k -atlas. En particular, se dice que un C k -atlas que es C 0 -compatible con un C 0 -atlas que define una variedad topológica determina una estructura diferencial C k en la variedad topológica. Las clases de equivalencia C k de tales atlas son las estructuras diferenciales C k distintas de la variedad . Cada estructura diferencial distinta está determinada por un atlas maximal único, que es simplemente la unión de todos los atlas en la clase de equivalencia.
Para simplificar el lenguaje, sin ninguna pérdida de precisión, se podría simplemente llamar a un atlas C k −máximo sobre un conjunto dado una variedad C k −máxima. Este atlas máximo determina entonces de manera única tanto la topología como el conjunto subyacente, siendo este último la unión de los dominios de todos los mapas, y el primero teniendo como base el conjunto de todos estos dominios.
Para cualquier entero k > 0 y cualquier variedad C k − de n −dimensiones , el atlas maximal contiene un C ∞ −atlas en el mismo conjunto subyacente por un teorema debido a Hassler Whitney . También se ha demostrado que cualquier C k −atlas maximal contiene algún número de C ∞ −atlas maximales distintos siempre que n > 0, aunque para cualquier par de estos C ∞ −atlas distintos existe un C ∞ −difeomorfismo que identifica a los dos. De ello se deduce que solo hay una clase de estructuras suaves (difeomorfismo suave módulo por pares) sobre cualquier variedad topológica que admita una estructura diferenciable, es decir, las estructuras C ∞ − en una variedad C k −. Un poco vagamente, se podría expresar esto diciendo que la estructura suave es (esencialmente) única. El caso para k = 0 es diferente. Es decir, existen variedades topológicas que no admiten ninguna estructura C 1 , resultado demostrado por Kervaire (1960), [2] y posteriormente explicado en el contexto del teorema de Donaldson (compárese el quinto problema de Hilbert ).
Las estructuras suaves en una variedad orientable se cuentan generalmente módulo homeomorfismos suaves que preservan la orientación . Surge entonces la pregunta de si existen difeomorfismos que invierten la orientación. Hay una estructura suave "esencialmente única" para cualquier variedad topológica de dimensión menor que 4. Para variedades compactas de dimensión mayor que 4, hay un número finito de "tipos suaves", es decir, clases de equivalencia de estructuras suaves difeomórficas suaves por pares. En el caso de R n con n ≠ 4, el número de estos tipos es uno, mientras que para n = 4, hay incontables tipos de este tipo. Uno se refiere a estos como exóticos R 4 .
La siguiente tabla enumera el número de tipos suaves de la m −esfera topológica S m para los valores de la dimensión m desde 1 hasta 20. Las esferas con una estructura suave, es decir, C ∞ −diferencial no suavemente difeomórfica a la habitual se conocen como esferas exóticas .
Actualmente no se sabe cuántos tipos lisos tiene la 4-esfera topológica S 4 , excepto que hay al menos uno. Puede haber uno, un número finito o un número infinito. La afirmación de que solo hay uno se conoce como la conjetura de Poincaré lisa (véase Conjetura de Poincaré generalizada ). La mayoría de los matemáticos creen que esta conjetura es falsa, es decir, que S 4 tiene más de un tipo liso. El problema está relacionado con la existencia de más de un tipo liso del 4-disco topológico (o 4-bola).
Como se mencionó anteriormente, en dimensiones menores a 4, solo hay una estructura diferencial para cada variedad topológica. Esto fue demostrado por Tibor Radó para dimensión 1 y 2, y por Edwin E. Moise en dimensión 3. [3] Usando la teoría de obstrucción , Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann pudieron demostrar que el número de estructuras PL para variedades topológicas compactas de dimensión mayor a 4 es finito. [4] John Milnor , Michel Kervaire y Morris Hirsch demostraron que el número de estructuras suaves en una variedad PL compacta es finito y concuerda con el número de estructuras diferenciales en la esfera para la misma dimensión (ver el libro Asselmeyer-Maluga, Brans capítulo 7). Combinando estos resultados, el número de estructuras suaves en una variedad topológica compacta de dimensión no igual a 4 es finito.
La dimensión 4 es más complicada. Para variedades compactas, los resultados dependen de la complejidad de la variedad medida por el segundo número de Betti b 2 . Para números de Betti grandes b 2 > 18 en una 4-variedad simplemente conexa , se puede utilizar una cirugía a lo largo de un nudo o enlace para producir una nueva estructura diferencial. Con la ayuda de este procedimiento se pueden producir infinitas estructuras diferenciales numerables. Pero incluso para espacios simples como el que no se conoce la construcción de otras estructuras diferenciales. Para 4-variedades no compactas hay muchos ejemplos como tener una cantidad incontable de estructuras diferenciales.
