teorema de donaldson

Cuando una forma de intersección definida de una variedad suave de 4 es diagonalizable

En matemáticas , y especialmente en topología diferencial y teoría de calibre , el teorema de Donaldson establece que una forma de intersección definida de una variedad compacta , orientada y suave de dimensión 4 es diagonalizable . Si la forma de intersección es definida positiva (negativa), se puede diagonalizar a la matriz identidad (matriz identidad negativa) sobre los números enteros . La versión original ^[1] del teorema requería que la variedad estuviera simplemente conectada , pero luego se mejoró para aplicarla a 4 variedades con cualquier grupo fundamental. ^[2]

Historia

El teorema fue demostrado por Simon Donaldson . Esta fue una contribución citada por su medalla Fields en 1986.

idea de prueba

La prueba de Donaldson utiliza el espacio de módulos de soluciones de las ecuaciones anti-auto-dualidad en un paquete principal sobre la variedad cuádruple . Según el teorema del índice de Atiyah-Singer , la dimensión del espacio de módulos viene dada por ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),}$

donde , es el primer número de Betti de y es la dimensión del subespacio definido positivo de con respecto a la forma de intersección. Cuando se conecta simplemente con una forma de intersección definida, posiblemente después de cambiar de orientación, siempre se tiene y . Por lo tanto, tomando cualquier paquete principal con , se obtiene un espacio de módulos de dimensión cinco. ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$ ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Cobordismo dado por el espacio de módulos de Yang-Mills en el teorema de Donaldson

Este espacio de módulos no es compacto y es genéricamente suave, con singularidades que ocurren sólo en los puntos correspondientes a conexiones reducibles, de las cuales hay exactamente muchas. ^[3] Los resultados de Clifford Taubes y Karen Uhlenbeck muestran que, si bien no es compacto, su estructura en el infinito se puede describir fácilmente. ^{[4] [5] [6]} Es decir, hay un subconjunto abierto de , digamos , tal que para elecciones de parámetro suficientemente pequeñas , hay un difeomorfismo ${\displaystyle b_{2}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )}$.

El trabajo de Taubes y Uhlenbeck se refiere esencialmente a la construcción de secuencias de conexiones ASD en las cuatro variedades con curvatura que se concentra infinitamente en cualquier punto único . Para cada uno de esos puntos, en el límite se obtiene una conexión ASD singular única, que se convierte en una conexión ASD suave y bien definida en ese punto utilizando el teorema de singularidad removible de Uhlenbeck. ^{[6] [3]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Donaldson observó que los puntos singulares en el interior de las conexiones reducibles también podían describirse: parecían conos sobre el plano proyectivo complejo . Además, podemos contar el número de puntos singulares. Sea el paquete sobre asociado mediante la representación estándar de . Entonces, las conexiones reducibles de calibre de módulo están en una correspondencia 1-1 con divisiones donde hay un paquete de líneas complejo sobre . ^[3] Siempre que podamos calcular: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$

${\displaystyle 1=k=c_{2}(E)=c_{2}(L\oplus L^{-1})=-Q(c_{1}(L),c_{1}(L))}$,

¿Dónde está la forma de intersección en la segunda cohomología de ? Dado que los paquetes de líneas se clasifican por su primera clase Chern , obtenemos que las conexiones reducibles de calibre de módulo están en una correspondencia 1-1 con pares tales que . Sea el número de pares . Un argumento elemental que se aplica a cualquier forma cuadrática definida negativa sobre los números enteros nos dice que , con igualdad si y sólo si es diagonalizable. ^[3] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pm \alpha \in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha )=-1}$ ${\displaystyle n(Q)}$ ${\displaystyle n(Q)\leq {\text{rank}}(Q)}$ ${\displaystyle Q}$

Por lo tanto, es posible compactar el espacio de módulos de la siguiente manera: primero, corte cada cono en una singularidad reducible y pegue una copia de . En segundo lugar, pega una copia de sí mismo en el infinito. El espacio resultante es un cobordismo entre y una unión inconexa de copias de (de orientaciones desconocidas). La firma de una variedad cuádruple es una invariante de cobordismo. Así, porque es definitivo: ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(Q)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{rank}}(Q)=b_{2}(X)=\sigma (X)=\sigma (\bigsqcup n(Q)\mathbb {CP} ^{2})\leq n(Q)}$,

de lo cual se concluye que la forma de intersección de es diagonalizable. ${\displaystyle X}$

Extensiones

Michael Freedman había demostrado previamente que cualquier forma bilineal simétrica unimodular se realiza como la forma de intersección de alguna variedad cuádruple cerrada y orientada . Combinando este resultado con el teorema de clasificación de Serre y el teorema de Donaldson, se pueden observar varios resultados interesantes:

1) Cualquier forma de intersección no diagonalizable da lugar a una variedad topológica de cuatro dimensiones sin estructura diferenciable (por lo que no se puede suavizar).

2) Dos variedades 4 suaves y simplemente conectadas son homeomorfas , si y solo si, sus formas de intersección tienen el mismo rango , firma y paridad.

Ver también

• celosía unimodular
• Teoría de Donaldson
• Ecuaciones de Yang-Mills
• teorema de rokhlin

Notas

1. Donaldson, SK (1 de enero de 1983). "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones". Revista de Geometría Diferencial . 18 (2). doi : 10.4310/jdg/1214437665 . ISSN  0022-040X.
2. Donaldson, SK (1 de enero de 1987). "La orientación de los espacios de módulos de Yang-Mills y la topología de 4 variedades". Revista de Geometría Diferencial . 26 (3). doi : 10.4310/jdg/1214441485 . ISSN  0022-040X. S2CID  120208733.
3. Donaldson, SK (1983). Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones. Revista de Geometría Diferencial, 18(2), 279-315.
4. Taubes, CH (1982). Conexiones Yang-Mills autoduales en 4 colectores no autoduales. Revista de Geometría Diferencial, 17(1), 139-170.
5. Uhlenbeck, KK (1982). Conexiones con L p límites de curvatura. Comunicaciones en Física Matemática, 83(1), 31-42.
6. Uhlenbeck, KK (1982). Singularidades removibles en los campos de Yang-Mills. Comunicaciones en Física Matemática, 83(1), 11-29.

Referencias

• Donaldson, SK (1983), "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665 , MR  0710056, Zbl  0507.57010
• Donaldson, SK; Kronheimer, PB (1990), La geometría de las cuatro variedades , Monografías matemáticas de Oxford, ISBN 0-19-850269-9
• Liberado, DS; Uhlenbeck, K. (1984), Instantones y cuatro variedades , Springer
• Freedman, M.; Quinn, F. (1990), Topología de 4 variedades , Princeton University Press
• Scorpan, A. (2005), El mundo salvaje de las 4 variedades , Sociedad Matemática Estadounidense