Pozo de potencial finito

Concepto de mecánica cuántica

El pozo de potencial finito (también conocido como pozo cuadrado finito ) es un concepto de la mecánica cuántica . Es una extensión del pozo de potencial infinito , en el que una partícula está confinada a una "caja", pero que tiene "paredes" de potencial finito . A diferencia del pozo de potencial infinito, existe una probabilidad asociada con que la partícula se encuentre fuera de la caja. La interpretación de la mecánica cuántica es diferente a la interpretación clásica, donde si la energía total de la partícula es menor que la barrera de energía potencial de las paredes, no se puede encontrar fuera de la caja. En la interpretación cuántica, existe una probabilidad distinta de cero de que la partícula esté fuera de la caja incluso cuando la energía de la partícula es menor que la barrera de energía potencial de las paredes (cf. túnel cuántico ).

Partícula en un pozo de potencial unidimensional.

Para el caso unidimensional en el eje x , la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como:

dónde

• ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$es la constante de Planck reducida,
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck ,
• ${\displaystyle m}$es la masa de la partícula,
• ${\displaystyle \psi }$es la función de onda (de valor complejo) que queremos encontrar,
• ${\displaystyle V(x)}$es una función que describe la energía potencial en cada punto x , y
• ${\displaystyle E}$es la energía , un número real, a veces llamado energía propia.

Para el caso de la partícula en una caja unidimensional de longitud L , el potencial está fuera de la caja y cero para x entre y . Se considera que la función de onda está formada por diferentes funciones de onda en diferentes rangos de x , dependiendo de si x está dentro o fuera de la caja. Por tanto, la función de onda se define tal que: ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle -L/2}$ ${\displaystyle L/2}$

$${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the well)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the well)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$

Dentro de la caja

Para la región dentro del cuadro, V ( x ) = 0 y la Ecuación 1 se reduce a

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.}$$

$${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}$$

Este es un problema de ecuaciones diferenciales y valores propios bien estudiado con una solución general de

$${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.}$$

$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.}$$

Aquí, A y B pueden ser cualquier número complejo y k puede ser cualquier número real.

Fuera de la caja

Para la región fuera de la caja, dado que el potencial es constante, la ecuación 1 se convierte en: ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}}$$

Hay dos posibles familias de soluciones, dependiendo de si E es menor que (la partícula está unida en el potencial) o E es mayor que (la partícula está libre). ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Para una partícula libre, y dejando ${\displaystyle E>V_{0}}$

$${\displaystyle k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}}$$

$${\displaystyle \psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)}$$

Este análisis se centrará en el estado ligado, donde . dejando ${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}}$$

$${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}}$$

De manera similar, para la otra región fuera del cuadro:

$${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}}$$

Ahora, para encontrar la solución específica para el problema en cuestión, debemos especificar las condiciones de contorno apropiadas y encontrar los valores de A , B , F , G , H e I que satisfagan esas condiciones.

Encontrar funciones de onda para el estado ligado

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger deben ser continuas y continuamente diferenciables. ^[1] Estos requisitos son condiciones de contorno en las ecuaciones diferenciales derivadas previamente, es decir, las condiciones coincidentes entre las soluciones dentro y fuera del pozo.

En este caso, el pozo de potencial finito es simétrico, por lo que se puede aprovechar la simetría para reducir los cálculos necesarios.

Resumiendo las secciones anteriores:

$${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the box)}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle \psi _{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}}$$

Vemos que cuando llega a , el término llega al infinito. Asimismo, cuando va a , el término llega al infinito. Para que la función de onda sea integrable al cuadrado, debemos establecer , y tenemos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F=I=0}$

$${\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}}$$

$${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}}$$

A continuación, sabemos que la función general debe ser continua y diferenciable. En otras palabras, los valores de las funciones y sus derivadas deben coincidir en los puntos divisorios: ${\displaystyle \psi }$

Estas ecuaciones tienen dos tipos de soluciones, simétricas, para las cuales y , y antisimétricas, para las cuales y . Para el caso simétrico obtenemos ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle G=-H}$

$${\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)}$$

$${\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)}$$

Raíces de la ecuación para los niveles de energía cuantificados.

$${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2).}$$

$${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2).}$$

Recordemos que ambos y dependen de la energía. Lo que hemos encontrado es que las condiciones de continuidad no pueden satisfacerse para un valor arbitrario de la energía; porque eso es el resultado del caso del pozo de potencial infinito. Por lo tanto, sólo se permiten ciertos valores de energía que sean soluciones de una o cualquiera de estas dos ecuaciones. Por tanto encontramos que los niveles de energía del siguiente sistema son discretos; las funciones propias correspondientes son estados ligados . (Por el contrario, los niveles de energía anteriores son continuos. ^[2] ) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Las ecuaciones de energía no se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, veremos que en el caso simétrico siempre existe al menos un estado ligado, incluso si el pozo es muy poco profundo. ^[3] Las soluciones gráficas o numéricas de las ecuaciones de energía se ayudan reescribiéndolas un poco. Si introducimos las variables adimensionales y , y observamos de las definiciones de y que , donde , las ecuaciones maestras dicen ${\displaystyle u=\alpha L/2}$ ${\displaystyle v=kL/2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}}$ ${\displaystyle u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}$

$${\displaystyle {\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\text{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\text{(antisymmetric case) }}\end{cases}}}$$

En el gráfico de la derecha, para , existen soluciones donde el semicírculo azul intersecta las curvas moradas o grises ( y ). Cada curva violeta o gris representa una posible solución, dentro del rango . Por lo tanto, el número total de soluciones, (es decir, el número de curvas violetas/grises que son intersecadas por el círculo azul) se determina dividiendo el radio del círculo azul, por el rango de cada solución y usando el piso o el techo. funciones: ^[4] ${\displaystyle u_{0}^{2}=20}$ ${\displaystyle v\tan v}$ ${\displaystyle -v\cot v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

$${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil }$$

En este caso existen exactamente tres soluciones, ya que . ${\displaystyle N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3}$

Soluciones del pozo cuadrado finito.

${\displaystyle v_{1}=1.28,v_{2}=2.54}$y , con las energías correspondientes ${\displaystyle v_{3}=3.73}$

$${\displaystyle E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.}$$

${\displaystyle A,B,G,H}$ ${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$

Observamos que por pequeño que sea (por poco profundo o estrecho que sea el pozo), siempre hay al menos un estado ligado. ${\displaystyle u_{0}}$

Vale la pena señalar dos casos especiales. A medida que la altura del potencial aumenta, el radio del semicírculo se hace mayor y las raíces se acercan cada vez más a los valores , y recuperamos bien el caso del cuadrado infinito . ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$ ${\displaystyle v_{n}=n\pi /2}$

El otro caso es el de un pozo muy estrecho y profundo, concretamente el caso y con fijo. Como tenderá a cero, solo habrá un estado ligado. La solución aproximada es entonces , y la energía tiende a . Pero esto es sólo la energía del estado ligado de un potencial de fuerza de función Delta , como debería ser. ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$ ${\displaystyle L\to 0}$ ${\displaystyle V_{0}L}$ ${\displaystyle u_{0}\propto {\sqrt {V_{0}}}L}$ ${\displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}}$ ${\displaystyle E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle V_{0}L}$

Se puede obtener una solución gráfica más simple para los niveles de energía normalizando el potencial y la energía mediante la multiplicación por . Las cantidades normalizadas son ${\displaystyle {8m}{L^{2}}/h^{2}}$

$${\displaystyle {\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}}$$

^[5] ${\displaystyle (V_{0},E)}$

$${\displaystyle {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|}$$

${\displaystyle (V_{0},E)}$

Estados no consolidados

Si resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una energía , las soluciones serán oscilatorias tanto dentro como fuera del pozo. Por tanto, la solución nunca es integrable al cuadrado; es decir, siempre es un estado no normalizable. Sin embargo, esto no significa que sea imposible que una partícula cuántica tenga una energía mayor que , simplemente significa que el sistema tiene un espectro continuo por encima . Los estados propios no normalizables están lo suficientemente cerca de ser integrables al cuadrado como para contribuir al espectro del hamiltoniano como operador ilimitado. ^[6] ${\displaystyle E>V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Pozo asimétrico

Considere un pozo de potencial asimétrico unidimensional dado por el potencial ^[7]

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (the region outside the well)}}\\0,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (the region inside the well)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$

con . La solución correspondiente para la función de onda con resulta ser ${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$ ${\displaystyle E<V_{1}}$

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{for }}0<x<a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{for }}x>a,{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}}$$

y

$${\displaystyle \sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.}$$

Los niveles de energía se determinan una vez resuelto como raíz de la siguiente ecuación trascendental ${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ka=n\pi -\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}}}}\right)}$$

donde la existencia de la raíz de la ecuación anterior no siempre está garantizada; por ejemplo, siempre se puede encontrar un valor tan pequeño que, para valores dados de y , no existe un nivel de energía discreto. Los resultados del pozo simétrico se obtienen de la ecuación anterior estableciendo . ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V_{o}}$

Partícula en un pozo de potencial esférico.

Considere bien el siguiente potencial esférico

$${\displaystyle U(r)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{if }}r<a{\text{ (the region inside the well)}}\\0,&{\text{if }}r>a{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$

^[7] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle E<0}$

$${\displaystyle \psi (r)={\begin{cases}{\frac {A}{r}}\sin kr,&{\text{for }}r<a,{\text{where }}k={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(U_{0}-|E|)}}\\{\frac {B}{r}}e^{-\kappa r},&{\text{for }}r>a,{\text{where }}\kappa ={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}={\sqrt {2mU_{0}/\hbar ^{2}-k^{2}}}.\end{cases}}}$$

${\displaystyle k\cot ka=-\kappa .}$

Esta ecuación no siempre tiene una solución que indica que, en algunos casos, no hay estados ligados. La profundidad mínima del pozo potencial para el cual aparece por primera vez el estado ligado está dada por ${\displaystyle E=0}$

${\displaystyle U_{0,\mathrm {min} }={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{8ma^{2}}}}$

que aumenta al disminuir el radio del pozo . Por lo tanto, los estados ligados no son posibles si el pozo es lo suficientemente poco profundo y estrecho. Para una profundidad del pozo que excede ligeramente el valor mínimo, es decir, para , la energía del estado fundamental (ya que estamos considerando el caso) viene dada por ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U_{0}/U_{0,\mathrm {min} }-1\ll 1}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -E_{1}={\frac {\pi ^{2}}{16}}{\frac {(|U_{0}|-U_{0,\mathrm {min} })^{2}}{U_{0,\mathrm {min} }}}.}$

Pozo anular esféricamente simétrico

Los resultados anteriores se pueden utilizar para mostrar que, en el caso unidimensional, hay dos estados ligados en una cavidad esférica, ya que las coordenadas esféricas hacen equivalente el radio en cualquier dirección.

El estado fundamental ( n = 1) de un potencial esféricamente simétrico siempre tendrá un momento angular orbital cero (ℓ = n−1), y la función de onda reducida satisface la ecuación ${\displaystyle \chi (r)\equiv r\psi (r)}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+U(r)\chi (r)=E\chi (r)}$$

donde es la parte radial de la función de onda. Observe que para ( n = 1 ) la parte angular es constante ( ℓ = 0). ${\displaystyle \psi (r)}$

Esto es idéntico a la ecuación unidimensional, excepto por las condiciones de contorno. Como antes,

$${\displaystyle \chi (r)={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]c\sin({kr+\delta }),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]c_{2}e^{-k_{2}r},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$$

Los niveles de energía para ${\displaystyle a<r<b}$

$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$

se determinan una vez que se resuelve como raíz de la siguiente ecuación trascendental ${\displaystyle {\displaystyle k}}$

$${\displaystyle k(b-a)=n\pi }$$

dónde ${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

Siempre se garantiza la existencia de la raíz de la ecuación anterior.

Los resultados son siempre con simetría esférica.

Cumple la condición donde la onda no encuentra ningún potencial dentro de la esfera: . ${\displaystyle \chi (a)=\chi (0)=0}$

Se aplica una ecuación diferencial diferente cuando ℓ ≠0, por lo que, como en los títulos anteriores, aquí está:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\begin{Bmatrix}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\end{Bmatrix}}\chi (r)=0}$

La solución se puede racionalizar mediante algunos cambios de variable y función para generar una ecuación diferencial tipo Bessel, cuya solución es:

${\displaystyle {\frac {\chi (r)}{r}}={\begin{cases}Aj_{l}({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]Aj_{l}({kr})+By_{l}({kr}),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]B{\frac {e^{-k_{2}r}}{r}},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$

donde y son funciones esféricas de Bessel y Newman respectivamente, y podrían reescribirse como función de la función estándar de Bessel. ${\displaystyle j_{l}{(kr)}}$ ${\displaystyle y_{l}({kr})}$

Los niveles de energía para ${\displaystyle a<r<b}$

$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$

se determinan una vez que se resuelve como raíz de la siguiente ecuación trascendental ${\displaystyle {\displaystyle k}}$

$${\displaystyle k(b-a)={\frac {4n\pi }{2l+1}}}$$

dónde ${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

Siempre se garantiza la existencia de la raíz de la ecuación anterior.

Los resultados son siempre con simetría esférica.

Cumple la condición donde la onda no encuentra ningún potencial dentro de la esfera: , pero se resuelve como raíz de la siguiente ecuación trascendental, donde  : ${\displaystyle \chi (a)=\chi (0)=0}$ ${\displaystyle {\displaystyle k}}$ ${\displaystyle {\displaystyle r<b}}$

${\displaystyle kb={\frac {2n\pi }{2l+1}}}$

Ver también

• Pozo potencial
• Potencial de función delta
• Pozo de potencial infinito
• Pozo de potencial semicircular
• Túnel cuántico
• Barrera de potencial rectangular

Referencias

1. Propuesta 5.1 del Salón 2013
2. Salón 2013 Sección 5.5
3. Propuesta 5.3 del Salón 2013
4. Williams, Floyd (2003). Temas de Mecánica Cuántica. Springer Ciencia + Medios comerciales. pag. 57.ISBN _ 978-1-4612-6571-9.
5. Chiani, M. (2016). "Un gráfico de los niveles de energía del pozo cuántico cuadrado". arXiv : 1610.04468 [física.gen-ph].
6. Hall 2013 Sección 5.5 y Ejercicio 4 en el Capítulo 3
7. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
8. Perelomov, AM y Zeldovich, Ya. B. (1998). Mecánica cuántica, temas seleccionados. Científico mundial.

Otras lecturas

• Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, saltador.