Potencial eléctrico

Integral de línea del campo eléctrico.

El potencial eléctrico (también llamado potencial de campo eléctrico , caída de potencial, potencial electrostático ) se define como la cantidad de energía de trabajo necesaria por unidad de carga eléctrica para mover la carga desde un punto de referencia a un punto específico en un campo eléctrico. Más precisamente, el potencial eléctrico es la energía por unidad de carga para una carga de prueba que es tan pequeña que la perturbación del campo considerado es insignificante. El movimiento a través del campo debe realizarse con una aceleración insignificante, para evitar que la carga de prueba adquiera energía cinética o produzca radiación. Por definición, el potencial eléctrico en el punto de referencia es cero unidades. Normalmente, el punto de referencia es la tierra o un punto en el infinito , aunque se puede utilizar cualquier punto.

En electrostática clásica , el campo electrostático es una cantidad vectorial expresada como el gradiente del potencial electrostático, que es una cantidad escalar denotada por V u ocasionalmente φ , ^[1] igual a la energía potencial eléctrica de cualquier partícula cargada en cualquier ubicación (medida en julios ) dividido por la carga de esa partícula (medida en culombios ). Al dividir la carga de la partícula se obtiene un cociente que es propiedad del propio campo eléctrico. En resumen, un potencial eléctrico es la energía potencial eléctrica por unidad de carga.

Este valor se puede calcular en un campo eléctrico estático (invariante en el tiempo) o dinámico (variante en el tiempo) en un momento específico con la unidad julios por culombio (J⋅C ⁻¹ ) o voltio (V). Se supone que el potencial eléctrico en el infinito es cero.

En electrodinámica , cuando están presentes campos variables en el tiempo, el campo eléctrico no puede expresarse únicamente como un potencial escalar . En cambio, el campo eléctrico se puede expresar como potencial eléctrico escalar y como potencial vectorial magnético . ^[2] El potencial eléctrico y el potencial del vector magnético juntos forman un cuatro vectores , de modo que los dos tipos de potencial se mezclan bajo transformaciones de Lorentz .

En la práctica, el potencial eléctrico es una función continua en todo el espacio, porque una derivada espacial de un potencial eléctrico discontinuo produce un campo eléctrico de magnitud increíblemente infinita. En particular, el potencial eléctrico debido a una carga puntual idealizada (proporcional a 1 ⁄ r , con r la distancia desde la carga puntual) es continuo en todo el espacio excepto en la ubicación de la carga puntual. Aunque el campo eléctrico no es continuo a través de una carga superficial idealizada , no es infinito en ningún punto. Por tanto, el potencial eléctrico es continuo a través de una carga superficial idealizada. Además, una línea de carga idealizada tiene un potencial eléctrico (proporcional a ln( r ) , siendo r la distancia radial desde la línea de carga) que es continuo en todas partes excepto en la línea de carga.

Introducción

La mecánica clásica explora conceptos como fuerza , energía y potencial . ^[3] La fuerza y ​​la energía potencial están directamente relacionadas. Una fuerza neta que actúa sobre cualquier objeto hará que se acelere . Cuando un objeto se mueve en la dirección de una fuerza que actúa sobre él, su energía potencial disminuye. Por ejemplo, la energía potencial gravitacional de una bala de cañón en la cima de una colina es mayor que en la base de la colina. A medida que rueda cuesta abajo, su energía potencial disminuye y se traduce en movimiento: energía cinética .

Es posible definir el potencial de ciertos campos de fuerza de modo que la energía potencial de un objeto en ese campo dependa sólo de la posición del objeto con respecto al campo. Dos de esos campos de fuerza son un campo gravitacional y un campo eléctrico (en ausencia de campos magnéticos variables en el tiempo). Dichos campos afectan a los objetos debido a las propiedades intrínsecas (por ejemplo, masa o carga) y posiciones de los objetos.

Un objeto puede poseer una propiedad conocida como carga eléctrica . Dado que un campo eléctrico ejerce fuerza sobre un objeto cargado, si el objeto tiene carga positiva, la fuerza estará en la dirección del vector del campo eléctrico en la ubicación de la carga; si la carga es negativa, la fuerza será en dirección opuesta.

La magnitud de la fuerza viene dada por la cantidad de carga multiplicada por la magnitud del vector del campo eléctrico,

$${\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.}$$

Electrostática

El potencial eléctrico de cargas puntuales positivas y negativas separadas se muestra como un rango de colores desde magenta (+), pasando por amarillo (0), hasta cian (-). Los contornos circulares son líneas equipotenciales. Las líneas de campo eléctrico salen de la carga positiva y entran en la carga negativa.

Potencial eléctrico en las proximidades de dos cargas puntuales opuestas.

Un potencial eléctrico en un punto r en un campo eléctrico estático E viene dado por la integral de línea

${\displaystyle V_{\mathbf {E} }=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,}$

donde C es un camino arbitrario desde algún punto de referencia fijo hasta r ; se determina de forma única hasta una constante que se suma o resta de la integral. En electrostática, la ecuación de Maxwell-Faraday revela que la curvatura es cero, lo que hace que el campo eléctrico sea conservador . Por lo tanto, la integral de línea anterior no depende de la ruta específica C elegida sino solo de sus puntos finales, lo que la hace bien definida en todas partes. El teorema del gradiente nos permite entonces escribir: ${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} }$ ${\textstyle V_{\mathbf {E} }}$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\,}$

Esto indica que el campo eléctrico apunta "cuesta abajo" hacia voltajes más bajos. Por la ley de Gauss , también se puede encontrar que el potencial satisface la ecuación de Poisson :

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\right)=-\nabla ^{2}V_{\mathbf {E} }=\rho /\varepsilon _{0}}$$

donde ρ es la densidad de carga total y denota la divergencia . ${\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

El concepto de potencial eléctrico está íntimamente ligado al de energía potencial . Una carga de prueba , q , tiene una energía potencial eléctrica , U _E , dada por

$${\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V.}$$

La energía potencial y, por tanto, también el potencial eléctrico, sólo se define hasta una constante aditiva: se debe elegir arbitrariamente una posición en la que la energía potencial y el potencial eléctrico sean cero.

Estas ecuaciones no se pueden utilizar si , es decir, en el caso de un campo eléctrico no conservativo (causado por un campo magnético cambiante ; ver las ecuaciones de Maxwell ). La generalización del potencial eléctrico para este caso se describe en la sección § Generalización a la electrodinámica. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

Potencial eléctrico debido a una carga puntual.

El potencial eléctrico creado por una carga, Q , es V  =  Q /(4πε ₀ r ). Diferentes valores de Q producen diferentes valores de potencial eléctrico, V , (como se muestra en la imagen).

Se observa que el potencial eléctrico que surge de una carga puntual, Q , a una distancia, r , de la ubicación de Q es

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},}$$

ε ₀permitividad del vacío ^[4]V _Epotencial de Coulomb

$${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$

se conoce como constante de Coulomb . Tenga en cuenta que, a diferencia de la magnitud de un campo eléctrico debido a una carga puntual, el potencial eléctrico aumenta dentro del recíproco del radio, en lugar del radio al cuadrado.

El potencial eléctrico en cualquier ubicación, r , en un sistema de cargas puntuales es igual a la suma de los potenciales eléctricos individuales debidos a cada carga puntual en el sistema. Este hecho simplifica significativamente los cálculos, porque la suma de campos potenciales (escalares) es mucho más fácil que la suma de campos eléctricos (vectoriales). Específicamente, el potencial de un conjunto de cargas puntuales discretas q _i en puntos r _i se convierte en

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )=k_{e}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,,}$$

dónde

• r es un punto en el que se evalúa el potencial;
• r _i es un punto en el que hay una carga distinta de cero; y
• q _i es la carga en el punto r _i .

Y el potencial de una distribución de carga continua ρ ( r ) se convierte en

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )=k_{e}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}$$

dónde

• r es un punto en el que se evalúa el potencial;
• R es una región que contiene todos los puntos en los que la densidad de carga es distinta de cero;
• r ' es un punto dentro de R ; y
• ρ ( r ' ) es la densidad de carga en el punto r ' .

Las ecuaciones dadas anteriormente para el potencial eléctrico (y todas las ecuaciones utilizadas aquí) están en las formas requeridas por las unidades SI . En algunos otros sistemas de unidades (menos comunes), como el CGS-Gaussiano , muchas de estas ecuaciones se alterarían.

Generalización a la electrodinámica.

Cuando están presentes campos magnéticos variables en el tiempo (lo cual es cierto siempre que hay campos eléctricos variables en el tiempo y viceversa), no es posible describir el campo eléctrico simplemente como un potencial escalar V porque el campo eléctrico ya no es conservativo : es dependiente de la ruta porque (debido a la ecuación de Maxwell-Faraday ). ${\displaystyle \textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

En cambio, todavía se puede definir un potencial escalar incluyendo también el potencial del vector magnético A. En particular, A se define para satisfacer:

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

donde B es el campo magnético . Según el teorema fundamental del cálculo vectorial , siempre se puede encontrar tal A , ya que la divergencia del campo magnético es siempre cero debido a la ausencia de monopolos magnéticos . Ahora, la cantidad

$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

Esecuación de Maxwell-Faraday ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$

donde V es el potencial escalar definido por el campo conservador F.

El potencial electrostático es simplemente el caso especial de esta definición donde A es invariante en el tiempo. Por otro lado, para campos que varían en el tiempo,

$${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)}}$$

Libertad de calibre

Al potencial electrostático se le podría agregar cualquier constante sin afectar el campo eléctrico. En electrodinámica, el potencial eléctrico tiene infinitos grados de libertad. Para cualquier campo escalar (posiblemente variable en el tiempo o en el espacio), 𝜓 , podemos realizar la siguiente transformación de calibre para encontrar un nuevo conjunto de potenciales que produzcan exactamente los mismos campos eléctricos y magnéticos: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} +\nabla \psi \end{aligned}}}$$

Dadas diferentes opciones de calibre, el potencial eléctrico podría tener propiedades bastante diferentes. En el calibre de Coulomb , el potencial eléctrico viene dado por la ecuación de Poisson

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

al igual que en la electrostática. Sin embargo, en el calibre de Lorenz , el potencial eléctrico es un potencial retardado que se propaga a la velocidad de la luz y es la solución a una ecuación de onda no homogénea :

$${\displaystyle \nabla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Unidades

La unidad de potencial eléctrico derivada del SI es el voltio (en honor a Alessandro Volta ), denotado como V, por lo que la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos en el espacio se conoce como voltaje . Las unidades más antiguas rara vez se utilizan en la actualidad. Las variantes del sistema de unidades centímetro-gramo-segundo incluían varias unidades diferentes para el potencial eléctrico, incluidos el abvoltio y el estatvoltio .

Potencial galvani versus potencial electroquímico

Dentro de los metales (y otros sólidos y líquidos), la energía de un electrón se ve afectada no sólo por el potencial eléctrico, sino también por el entorno atómico específico en el que se encuentra. Cuando un voltímetro se conecta entre dos tipos diferentes de metal, mide la diferencia de potencial corregida para los diferentes ambientes atómicos. ^[6] La cantidad medida por un voltímetro se llama potencial electroquímico o nivel de Fermi , mientras que el potencial eléctrico puro no ajustado, V , a veces se llama potencial de Galvani , ϕ . Los términos "voltaje" y "potencial eléctrico" son un poco ambiguos, pero uno puede referirse a cualquiera de ellos en contextos diferentes.

Ver también

• Potencial absoluto del electrodo
• potencial electroquímico
• Potencial de electrodo

Referencias

1. Goldstein, Herbert (junio de 1959). Mecanica clasica . Estados Unidos: Addison-Wesley. pag. 383.ISBN _ 0201025108.
2. Griffiths, David J. (1999). Introducción a la Electrodinámica . Pearson-Prentice Hall. págs. 416–417. ISBN 978-81-203-1601-0.
3. Joven, Hugh A.; Freedman, Roger D. (2012). Física universitaria de Sears y Zemansky con física moderna (13ª ed.). Boston: Addison-Wesley. pag. 754.
4. "Valor CODATA 2018: permitividad eléctrica del vacío". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
5. Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. pag. 420.ISBN _ 013805326X.
6. Bagotskii VS (2006). Fundamentos de electroquímica. pag. 22.ISBN _ 978-0-471-70058-6.

Otras lecturas

• Politzer P, Truhlar DG (1981). Aplicaciones químicas de los potenciales electrostáticos atómicos y moleculares: reactividad, estructura, dispersión y energética de sistemas orgánicos, inorgánicos y biológicos . Boston, MA: Springer EE. UU. ISBN 978-1-4757-9634-6.
• Sen K, Murray JS (1996). Potenciales electrostáticos moleculares: conceptos y aplicaciones . Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-444-82353-3.
• DJ Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Jackson JD (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Estados Unidos: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Wangsness RK (1986). Campos electromagnéticos (2º, revisado, edición ilustrada). Wiley. ISBN 978-0-471-81186-2.