Límite unilateral

Límite de una función que se acerca a un punto de valor desde valores por debajo o por encima del punto de valor

La función donde denota la función de signo , tiene un límite izquierdo de un límite derecho de y un valor de función de en el punto ${\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} (x)}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle +1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0.}$

En cálculo , un límite unilateral se refiere a cualquiera de los dos límites de una función de una variable real cuando se aproxima a un punto específico ya sea desde la izquierda o desde la derecha. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

El límite a medida que se acerca la disminución del valor ( se acerca "desde la derecha" ^[3] o "desde arriba") se puede denotar: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)}$$

El límite a medida que se acerca el aumento del valor ( se acerca "desde la izquierda" ^{[4] [5]} o "desde abajo") se puede denotar: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)}$$

Si el límite de los enfoques existe, entonces los límites de la izquierda y de la derecha existen y son iguales. En algunos casos en los que el límite ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$$

^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

Es posible que exista exactamente uno de los dos límites unilaterales (mientras que el otro no existe). También es posible que no exista ninguno de los dos límites unilaterales.

Definicion formal

Definición

Si representa algún intervalo que está contenido en el dominio de y si es un punto, entonces el límite del lado derecho a medida que se aproxima se puede definir rigurosamente como el valor que satisface: ^{[6] [ se necesita verificación ]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .}$$

Podemos representar lo mismo de manera más simbólica, de la siguiente manera.

Representemos un intervalo, donde , y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}$ ${\displaystyle a\in I}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))}$$

Intuición

En comparación con la definición formal del límite de una función en un punto, el límite unilateral (como sugiere el nombre) solo trata con valores de entrada a un lado del valor de entrada aproximado.

Como referencia, la definición formal del límite de una función en un punto es la siguiente:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}$$

Para definir un límite unilateral, debemos modificar esta desigualdad. Tenga en cuenta que la distancia absoluta entre y es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.}$$

Para el límite de la derecha, queremos estar a la derecha de , lo que significa que , por lo que es positivo. Desde arriba, es la distancia entre y . Queremos limitar esta distancia por nuestro valor de , dando la desigualdad . Juntando las desigualdades y usando la propiedad de transitividad de las desigualdades, tenemos la desigualdad compuesta . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<x}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a}$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a<\delta }$

De manera similar, para el límite por la izquierda, queremos estar a la izquierda de , lo que significa que . En este caso es el que es positivo y representa la distancia entre y . Nuevamente, queremos limitar esta distancia por nuestro valor de , lo que lleva a la desigualdad compuesta . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<a}$ ${\displaystyle a-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<a-x<\delta }$

Ahora, cuando nuestro valor de está en su intervalo deseado, esperamos que el valor de también esté dentro de su intervalo deseado. La distancia entre y , el valor límite del límite del lado izquierdo, es . De manera similar, la distancia entre y , el valor límite del límite del lado derecho, es . En ambos casos, queremos limitar esta distancia por , por lo que obtenemos lo siguiente: para el límite del lado izquierdo y para el límite del lado derecho. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |f(x)-L|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |f(x)-R|}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

Ejemplos

Ejemplo 1 : Los límites por la izquierda y por la derecha delasaproximacionesson ${\displaystyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a:=0}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$

^{[nota 1]} ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to 0^{-}}$ ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Trama de la función ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}$

Ejemplo 2 : Un ejemplo de una función con diferentes límites unilaterales es(ver imagen) donde está el límite de la izquierday el límite de la derecha. Para calcular estos límites, primero demuestre que ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0}$$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}$$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$

Relación con la definición topológica de límite

El límite unilateral de un punto corresponde a la definición general de límite , con el dominio de la función restringido a un lado, ya sea permitiendo que el dominio de la función sea un subconjunto del espacio topológico o considerando un subespacio unilateral. , incluido ^{[1] [ se necesita verificación ]} Alternativamente, se puede considerar el dominio con una topología de intervalo medio abierto . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

teorema de abel

Un teorema digno de mención que trata los límites unilaterales de ciertas series de potencias en los límites de sus intervalos de convergencia es el teorema de Abel . ^{[ cita necesaria ]}

Notas

1. Se dice que un límite que es igual a diverge en lugar de converger a Lo mismo ocurre cuando un límite es igual a ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Referencias

1. "Límite unilateral - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 7 de agosto de 2021 .
2. Fridy, JA (24 de enero de 2020). Análisis introductorio: la teoría del cálculo. Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 48.ISBN​ 978-0-12-267655-0. Consultado el 7 de agosto de 2021 .
3. Hasán, Osman; Khayam, Syed (2 de enero de 2014). "Hacia el criptoanálisis lineal formal utilizando HOL4" (PDF) . Revista de Informática Universal . 20 (2): 209. doi :10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN  0948-6968.
4. Gasic, Andrei G. (12 de diciembre de 2020). Fenómenos de fase de proteínas en la materia viva (tesis de tesis).
5. Brotar, Martín; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019), "Límite y continuidad", Cálculo para científicos e ingenieros , Matemáticas industriales y aplicadas, Singapur: Springer Singapur, págs. 39–53, doi :10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN 978-981-13-8463-9, S2CID  201484118 , consultado el 11 de enero de 2022
6. Giv, Hossein Hosseini (28 de septiembre de 2016). Análisis matemático y su naturaleza inherente. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 130.ISBN​ 978-1-4704-2807-5. Consultado el 7 de agosto de 2021 .

Ver también

• Línea real extendida proyectivamente
• Semidiferenciabilidad
• Límite superior y límite inferior