Conjunto Vitali

Conjunto de números reales que no son medibles según el método de Lebesgue

En matemáticas , un conjunto de Vitali es un ejemplo elemental de un conjunto de números reales que no es medible según el método de Lebesgue , descubierto por Giuseppe Vitali en 1905. ^[1] El teorema de Vitali es el teorema de existencia que sostiene que existen tales conjuntos. Cada conjunto de Vitali es incontable , y hay incontables conjuntos de Vitali. La prueba de su existencia depende del axioma de elección .

Conjuntos medibles

Ciertos conjuntos tienen una 'longitud' o 'masa' definida. Por ejemplo, se considera que el intervalo [0, 1] tiene una longitud de 1; de manera más general, se considera que un intervalo [ a , b ], a ≤ b , tiene una longitud de b  −  a . Si pensamos en dichos intervalos como barras de metal con densidad uniforme, también tienen masas bien definidas. El conjunto [0, 1] ∪ [2, 3] está compuesto por dos intervalos de longitud uno, por lo que consideramos que su longitud total es 2. En términos de masa, tenemos dos barras de masa 1, por lo que la masa total es 2.

Aquí surge una pregunta natural: si E es un subconjunto arbitrario de la línea real, ¿tiene una "masa" o una "longitud total"? Como ejemplo, podríamos preguntar cuál es la masa del conjunto de números racionales entre 0 y 1, dado que la masa del intervalo [0, 1] es 1. Los racionales son densos en los reales, por lo que cualquier valor entre 0 y 1 inclusive puede parecer razonable.

Sin embargo, la generalización más cercana a la masa es la aditividad sigma , que da lugar a la medida de Lebesgue . Asigna una medida de b − a al intervalo [ a , b ], pero asignará una medida de 0 al conjunto de números racionales porque es contable . Cualquier conjunto que tenga una medida de Lebesgue bien definida se dice que es "medible", pero la construcción de la medida de Lebesgue (por ejemplo, utilizando el teorema de extensión de Carathéodory ) no hace obvio si existen conjuntos no mensurables. La respuesta a esa pregunta implica el axioma de elección .

Construcción y prueba

Un conjunto de Vitali es un subconjunto del intervalo de números reales tal que, para cada número real , existe exactamente un número tal que es un número racional . Los conjuntos de Vitali existen porque los números racionales forman un subgrupo normal de los números reales bajo la adición , y esto permite la construcción del grupo cociente aditivo de estos dos grupos que es el grupo formado por las clases laterales de los números racionales como un subgrupo de los números reales bajo la adición. Este grupo consiste en "copias desplazadas" disjuntas de en el sentido de que cada elemento de este grupo cociente es un conjunto de la forma para algunos en . Los incontables elementos de se dividen en conjuntos disjuntos, y cada elemento es denso en . Cada elemento de interseca a , y el axioma de elección garantiza la existencia de un subconjunto de que contiene exactamente un representante de cada elemento de . Un conjunto formado de esta manera se llama conjunto de Vitali. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v-r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$

Cada conjunto de Vitali es incontable y es irracional para cualquier . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v-u}$ ${\displaystyle u,v\in V,u\neq v}$

No mensurabilidad

Una posible enumeración de los números racionales positivos

Un conjunto de Vitali no es medible. Para demostrarlo, suponemos que es medible y derivamos una contradicción. Sea una enumeración de los números racionales en (recordemos que los números racionales son contables ). A partir de la construcción de , podemos demostrar que los conjuntos traducidos , son disjuntos por pares. (Si no es así, entonces existen distintos y tales que , una contradicción). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots }$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle v,u\in V}$ ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v+q_{k}=u+q_{\ell }\implies v-u=q_{\ell }-q_{k}\in \mathbb {Q} }$

A continuación, tenga en cuenta que

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2].}$

Para ver la primera inclusión, considere cualquier número real en y sea el representante en para la clase de equivalencia ; luego, para algún número racional en que implica que es en . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [r]}$ ${\displaystyle r-v=q_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Aplique la medida de Lebesgue a estas inclusiones utilizando aditividad sigma :

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.}$

Debido a que la medida de Lebesgue es invariante en la traducción, y por lo tanto ${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.}$

Pero esto es imposible. Sumar infinitas copias de la constante da como resultado cero o infinito, según que la constante sea cero o positiva. En ninguno de los casos la suma está en . Por lo tanto, no puede haber sido medible después de todo, es decir, la medida de Lebesgue no debe definir ningún valor para . ${\displaystyle \lambda (V)}$ ${\displaystyle [1,3]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (V)}$

Propiedades

Ningún conjunto de Vitali tiene la propiedad de Baire . ^[2]

Modificando la prueba anterior, se muestra que cada conjunto Vitali tiene medida de Banach 0. Esto no crea ninguna contradicción ya que las medidas de Banach no son contablemente aditivas, sino sólo finitamente aditivas.

El papel del axioma de elección

La construcción de los conjuntos de Vitali que se han dado anteriormente utiliza el axioma de elección . Surge la pregunta: ¿es necesario el axioma de elección para demostrar la existencia de conjuntos que no son medibles según el método de Lebesgue? La respuesta es sí, siempre que los cardinales inaccesibles sean consistentes con la axiomatización más común de la teoría de conjuntos, denominada ZFC .

En 1964, Robert Solovay construyó un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección, donde todos los conjuntos de números reales son medibles según el método de Lebesgue. Esto se conoce como el modelo de Solovay . ^[3] En su prueba, Solovay asumió que la existencia de cardinales inaccesibles es consistente con los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, es decir, que no crea contradicciones. Los teóricos de conjuntos creen ampliamente que esta suposición es verdadera, pero no se puede demostrar solo con ZFC. ^[4]

En 1980, Saharon Shelah demostró que no es posible establecer el resultado de Solovay sin su suposición sobre cardinales inaccesibles. ^[4]

Véase también

• Paradoja de Banach-Tarski  – Teorema geométrico
• Criterio de Carathéodory  : condición necesaria y suficiente para un conjunto mediblePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Conjunto no medible  : conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo.
• Medida exterior  – Función matemática
• Función de paridad infinita  : función booleana cuyo valor es 1 si el vector de entrada tiene un número impar de unosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bolonia, Consejo. Gamberini y Parmeggiani .
2. Oxtoby, John C. (1980), Medida y categoría , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 2 (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90508-2. Ver página 22.
3. Solovay, Robert M. (1970), "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de números reales es medible según el método de Lebesgue", Annals of Mathematics , Segunda serie, 92 (1): 1–56, doi :10.2307/1970696, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970696, MR  0265151
4. Carro, Stan; Tomkowicz, Grzegorz (2016). La paradoja de Banach-Tarski (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 296–299.

Bibliografía

• Herrlich, Horst (2006). Axioma de elección . Saltador. pag. 120.ISBN​ 9783540309895.
• Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bolonia, Consejo. Gamberini y Parmeggiani .