Número de Liouville

Clase de números irracionales

En teoría de números , un número de Liouville es un número real con la propiedad de que, para cada entero positivo , existe un par de enteros con tales que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>1}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

La desigualdad implica que los números de Liouville poseen una excelente secuencia de aproximaciones de números racionales . En 1844, Joseph Liouville demostró un límite que muestra que existe un límite a la precisión con la que los números algebraicos pueden aproximarse mediante números racionales, y definió los números de Liouville específicamente para que tuvieran aproximaciones racionales mejores que las permitidas por este límite. Liouville también exhibió ejemplos de números de Liouville ^[1], estableciendo así la existencia de números trascendentales por primera vez. ^[2] Uno de estos ejemplos es la constante de Liouville

${\displaystyle L=0.110001000000000000000001\ldots ,}$

en el que el n- ésimo dígito después del punto decimal es 1 si es el factorial de un entero positivo y 0 en caso contrario. Se sabe que π y e , aunque trascendentales, no son números de Liouville. ^[3] ${\displaystyle n}$

La existencia de los números de Liouville (constante de Liouville)

Se puede demostrar la existencia de los números de Liouville mediante una construcción explícita.

Para cualquier número entero y cualquier secuencia de números enteros tales que para todos y para infinitos , defina el número ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$

En el caso especial cuando , y para todo , el número resultante se llama constante de Liouville: ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle a_{k}=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots }$

De la definición se desprende que su base -la representación- es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}}$

donde el término th está en el th lugar. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

Como esta representación base no se repite, se deduce que no es un número racional. Por lo tanto, para cualquier número racional , . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle |x-p/q|>0}$

Ahora, para cualquier entero , y se puede definir de la siguiente manera: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}}$

Entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cualquier número de este tipo es un número de Liouville. ${\displaystyle x}$

Notas sobre la prueba

1. La desigualdad se sigue ya que a _k  ∈ {0, 1, 2, ..., b −1} para todo k , por lo que como máximo a _k  = b −1. La suma más grande posible ocurriría si la secuencia de números enteros ( a ₁ , a ₂ , ...) fuera ( b −1, b −1, ...), es decir, a _k  = b −1, para todo k . será entonces menor o igual que esta suma más grande posible. ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$
2. La fuerte desigualdad se desprende de la motivación de eliminar la serie mediante su reducción a una serie para la que se conoce una fórmula. En la prueba hasta ahora, el propósito de introducir la desigualdad en el punto 1 proviene de la intuición de que (la fórmula de la serie geométrica ); por lo tanto, si se puede encontrar una desigualdad de que introduce una serie con ( b −1) en el numerador, y si el término del denominador se puede reducir aún más de a , así como desplazar los índices de la serie de 0 a , entonces se eliminarán tanto la serie como los términos ( b −1), acercándose a una fracción de la forma , que es el objetivo final de la prueba. Esta motivación se incrementa aquí al seleccionar ahora de la suma una suma parcial. Obsérvese que, para cualquier término en , ya que b ≥ 2, entonces , para todo k (excepto cuando n = 1). Por lo tanto, (ya que, incluso si n = 1, todos los términos posteriores son más pequeños). Para manipular los índices de manera que k comience en 0, se seleccionará una suma parcial desde dentro (también menor que el valor total ya que es una suma parcial de una serie cuyos términos son todos positivos). Elija la suma parcial formada al comenzar en k = ( n +1)!, lo que se desprende de la motivación para escribir una nueva serie con k = 0, es decir, notando que . ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle b^{k!}}$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b-1}{b^{k!}}}<{\frac {b-1}{b^{k}}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}}$ ${\displaystyle b^{(n+1)!}=b^{(n+1)!}b^{0}}$
3. Para la desigualdad final , se ha elegido esta desigualdad en particular (verdadera porque b ≥ 2, donde la igualdad se cumple si y solo si n = 1) debido al deseo de manipular en algo de la forma . Esta desigualdad en particular permite la eliminación de ( n +1)! y el numerador, usando la propiedad de que ( n +1)! – n ! = ( n !) n , poniendo así el denominador en forma ideal para la sustitución . ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$ ${\displaystyle q_{n}=b^{n!}}$

Irracionalidad

Aquí la prueba mostrará que el número donde c y d son enteros no puede satisfacer las desigualdades que definen un número de Liouville. Como todo número racional puede representarse como tal, la prueba mostrará que ningún número de Liouville puede ser racional . ${\displaystyle ~x=c/d~,}$ ${\displaystyle ~d>0~,}$ ${\displaystyle ~c/d~,}$

Más específicamente, esta prueba muestra que para cualquier entero positivo n lo suficientemente grande como para que [equivalentemente, para cualquier entero positivo )], no existe ningún par de enteros que satisfaga simultáneamente el par de desigualdades entre paréntesis. ${\displaystyle ~2^{n-1}>d>0~}$ ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~}$ ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Si la afirmación es verdadera, entonces se sigue la conclusión deseada.

Sean p y q cualesquiera números enteros con Entonces, ${\displaystyle ~q>1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}}$

Si entonces ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|=0~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,}$

lo que significa que dicho par de números enteros violaría la primera desigualdad en la definición de un número de Liouville, independientemente de cualquier elección de n  . ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

Si, por otra parte, puesto que entonces, puesto que es un entero, podemos afirmar la desigualdad más aguda. De esto se sigue que ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~,}$ ${\displaystyle c\,q-d\,p}$ ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}}$

Ahora bien, para cualquier número entero la última desigualdad anterior implica ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Por lo tanto, en el caso de que dicho par de números enteros violara la segunda desigualdad en la definición de un número de Liouville, para algún entero positivo n . ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$ ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

Por lo tanto, para concluir, no existe ningún par de números enteros que puedan calificarse como un número de Liouville. ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~,}$ ${\displaystyle ~q>1~,}$ ${\displaystyle ~x=c/d~,}$

Por lo tanto, un número de Liouville no puede ser racional.

Números y trascendencia de Liouville

Ningún número de Liouville es algebraico. La prueba de esta afirmación se realiza estableciendo primero una propiedad de los números algebraicos irracionales . Esta propiedad dice esencialmente que los números algebraicos irracionales no pueden ser bien aproximados por números racionales, donde la condición para "bien aproximado" se vuelve más estricta para denominadores mayores. Un número de Liouville es irracional pero no tiene esta propiedad, por lo que no puede ser algebraico y debe ser trascendental. El siguiente lema se conoce generalmente como teorema de Liouville (sobre aproximación diofántica) , y existen varios resultados conocidos como teorema de Liouville .

Lema: Si es una raíz irracional de un polinomio irreducible de grado con coeficientes enteros, entonces existe un número real tal que para todos los enteros con , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Prueba del Lema: Sea un polinomio minimal con coeficientes enteros, tal que . ${\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

Por el teorema fundamental del álgebra , tiene como máximo raíces distintas. Por lo tanto, existe tal que para todo obtenemos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$
${\displaystyle \delta _{1}>0}$ ${\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

Como es un polinomio mínimo de obtenemos , y también es continua . Por lo tanto, por el teorema del valor extremo existe y tal que para todo obtenemos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0}$ ${\displaystyle f'}$
${\displaystyle \delta _{2}>0}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}}$ ${\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M}$

Ambas condiciones se cumplen para . ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$

Sea ahora un número racional. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que . Por el teorema del valor medio , existe tal que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha }$ ${\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)}$

${\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}}$

Dado que y , ambos lados de esa igualdad son distintos de cero. En particular , y podemos reorganizar: ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0}$ ${\displaystyle |f'\!(x_{0})|>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}}$

Prueba de la afirmación: Como consecuencia de este lema, sea x un número de Liouville; como se indica en el texto del artículo, x es entonces irracional. Si x es algebraico, entonces, según el lema, existe algún entero n y algún real positivo A tales que para todo p , q

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Sea r un entero positivo tal que 1/(2 ^r ) ≤ A y definamos m = r + n . Como x es un número de Liouville, existen enteros a , b con b > 1 tales que

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}},}$

lo cual contradice el lema. Por lo tanto, un número de Liouville no puede ser algebraico y, por lo tanto, debe ser trascendental.

Establecer que un número dado es un número de Liouville demuestra que es trascendental. Sin embargo, no todo número trascendental es un número de Liouville. Los términos en la expansión fraccionaria continua de cada número de Liouville no están acotados; utilizando un argumento de conteo, se puede demostrar que debe haber una cantidad incontable de números trascendentales que no sean de Liouville. Utilizando la expansión fraccionaria continua explícita de e , se puede demostrar que e es un ejemplo de un número trascendental que no es de Liouville. Mahler demostró en 1953 que π es otro ejemplo de ello. ^[4]

Incontabilidad

Considere el número

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 ceros)1(17 ceros)5(95 ceros)9(599 ceros)2(4319 ceros)6...

donde los dígitos son cero excepto en las posiciones n ! donde el dígito es igual al n º dígito que sigue al punto decimal en la expansión decimal de  π .

Como se muestra en la sección sobre la existencia de números de Liouville, este número, así como cualquier otro decimal no terminal con sus dígitos distintos de cero situados de manera similar, satisface la definición de un número de Liouville. Dado que el conjunto de todas las secuencias de dígitos no nulos tiene la cardinalidad del continuo , lo mismo es cierto para el conjunto de todos los números de Liouville.

Además, los números de Liouville forman un subconjunto denso del conjunto de números reales.

Números y medidas de Liouville

Desde el punto de vista de la teoría de la medida , el conjunto de todos los números de Liouville es pequeño. Más precisamente, su medida de Lebesgue , , es cero. La prueba dada sigue algunas ideas de John C. Oxtoby . ^{[5] : 8} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda (L)}$

Para números enteros positivos y conjuntos: ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle q\geq 2}$

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

entonces

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Observe que para cada entero positivo y , entonces ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Desde

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

y luego ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

Ahora

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

y se sigue que para cada entero positivo , tiene medida de Lebesgue cero. En consecuencia, también tiene . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L\cap (-m,m)}$ ${\displaystyle L}$

Por el contrario, la medida de Lebesgue del conjunto de todos los números trascendentales reales es infinita (ya que el conjunto de números algebraicos es un conjunto nulo ).

Se podría demostrar incluso más: el conjunto de números de Liouville tiene dimensión de Hausdorff 0 (una propiedad estrictamente más fuerte que tener medida de Lebesgue 0).

Estructura del conjunto de números de Liouville

Para cada entero positivo n , establezca

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~}$

El conjunto de todos los números de Liouville puede escribirse así:

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

Cada uno es un conjunto abierto ; como su clausura contiene todos los racionales (los de cada intervalo perforado), también es un subconjunto denso de la recta real. Como es la intersección de un número contable de tales conjuntos densos abiertos, L es comeagre , es decir, es un conjunto denso G δ . ${\displaystyle ~U_{n}~}$ ${\displaystyle ~p/q~}$

Medida de irracionalidad

La medida de irracionalidad de Liouville-Roth ( exponente de irracionalidad, exponente de aproximación o constante de Liouville-Roth ) de un número real es una medida de cuán "cerca" puede ser aproximado por racionales. Se define adaptando la definición de números de Liouville: en lugar de requerir la existencia de una secuencia de pares que hagan que la desigualdad se cumpla para cada uno —una secuencia que necesariamente contiene infinitos pares distintos— el exponente de irracionalidad se define como el supremo del conjunto de para el cual existe tal secuencia infinita, es decir, el conjunto de tales que es satisfecho por un número infinito de pares de enteros con . ^{[6] : 246} Para cualquier valor , el conjunto infinito de todos los racionales que satisfacen la desigualdad anterior produce buenas aproximaciones de . Por el contrario, si , entonces hay como máximo un número finito de con que satisfacen la desigualdad. Si es un número de Liouville entonces . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle n\leq \mu (x)}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n>\mu (x)}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

Véase también

• Número de Brjuno
• Constante de Markov
• Aproximación diofántica

Referencias

1. Joseph Liouville (mayo de 1844). "Mémoires y comunicaciones". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (en francés). 18 (20, 21): 883–885, 910–911.
2. Baker, Alan (1990). Teoría de números trascendental (edición de bolsillo). Cambridge University Press. pág. 1. ISBN 978-0-521-39791-9.
3. Baker 1990, pág. 86.
4. Kurt Mahler, "Sobre la aproximación de π", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. , t. 56 (1953), págs. 342–366.
5. Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 2 (segunda edición). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 0-387-90508-1.Sr. 0584443  .
6. Bugeaud, Yann (2012). Distribución módulo uno y aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 193. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9781139017732. ISBN . 978-0-521-11169-0.MR 2953186.Zbl 1260.11001  . ​

Enlaces externos

• El comienzo de los números trascendentales