Teorema de extensión de Carathéodory

Teorema que extiende las premedidas a las medidas

En teoría de la medida , el teorema de extensión de Carathéodory (llamado así por el matemático Constantin Carathéodory ) establece que cualquier premedida definida en un anillo dado de subconjuntos R de un conjunto dado Ω puede extenderse a una medida en el anillo σ generado por R , y esta extensión es única si la premedida es σ-finita . En consecuencia, cualquier premedida en un anillo que contenga todos los intervalos de números reales puede extenderse al álgebra de Borel del conjunto de números reales. Este es un resultado extremadamente poderoso de la teoría de la medida y conduce, por ejemplo, a la medida de Lebesgue .

El teorema también se conoce a veces como teorema de extensión de Carathéodory- Fréchet , teorema de extensión de Carathéodory- Hof , teorema de extensión de Hopf y teorema de extensión de Hahn - Kolmogorov . ^[1]

Declaración introductoria

Se pueden dar varios enunciados muy similares del teorema. Más abajo se da uno un poco más elaborado, basado en semianillos de conjuntos. A continuación se ofrece un enunciado más breve y sencillo. En esta forma, se suele llamar teorema de Hahn-Kolmogorov .

Sea un álgebra de subconjuntos de un conjunto Considérese una función de conjunto que es sigma aditiva , lo que significa que para cualquier familia disjunta de elementos de tal que (Las funciones que obedecen a estas dos propiedades se conocen como premedidas ). Entonces, se extiende a una medida definida en el -álgebra generada por ; es decir, existe una medida tal que su restricción a coincide con ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \mu _{0}:\Sigma _{0}\to [0,\infty ]}$$ $${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})}$$ ${\displaystyle \{A_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}.}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ $${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\infty ]}$$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}.}$

Si es -finito, entonces la extensión es única. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Comentarios

Este teorema es notable porque permite construir una medida definiéndola primero en una pequeña álgebra de conjuntos, donde su aditividad sigma podría ser fácil de verificar, y luego este teorema garantiza su extensión a una álgebra sigma. La demostración de este teorema no es trivial, ya que requiere extender desde un álgebra de conjuntos a una álgebra sigma potencialmente mucho mayor, garantizando que la extensión sea única (si es -finita), y además que no deje de satisfacer la sigma-aditividad de la función original. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Semianillo y anillo

Definiciones

Para un conjunto dado llamamos familia de subconjuntos de un ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \Omega }$semianillo de conjuntos si tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$
• Para todo lo que tenemos (cerrado bajo intersecciones por pares) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}}}$
• Para todo existe un número finito de conjuntos disjuntos tales que ( los complementos relativos pueden escribirse como uniones disjuntas finitas ). ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle K_{i}\in {\mathcal {S}},i=1,2,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}}$

La primera propiedad se puede reemplazar por ya que ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}\implies A\setminus A=\varnothing \in {\mathcal {S}}.}$

Con la misma notación, llamamos a una familia de subconjuntos de un ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \Omega }$anillo de conjuntos si tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {R}}}$
• Por todo lo que tenemos (cerrado bajo uniones por pares) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
• Por todo lo que tenemos (cerrado bajo complementos relativos). ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$ ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$

Por lo tanto, cualquier anillo es también un semianillo. ${\displaystyle \Omega }$

A veces, se agrega la siguiente restricción en el contexto de la teoría de la medida:

• ${\displaystyle \Omega }$es la unión disjunta de una familia contable de conjuntos en ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Un cuerpo de conjuntos (respectivamente, un semicuerpo) es un anillo (respectivamente, un semianillo) que también contiene como uno de sus elementos. ${\displaystyle \Omega }$

Propiedades

• Las intersecciones arbitrarias (posiblemente incontables ) de anillos en siguen siendo anillos en ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega .}$
• Si es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de entonces definimos el anillo generado por (anotado ) como la intersección de todos los anillos que contienen Es sencillo ver que el anillo generado por es el anillo más pequeño que contiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R(A)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
• Para un semianillo, el conjunto de todas las uniones finitas de conjuntos en es el anillo generado por (Se puede demostrar que es igual al conjunto de todas las uniones disjuntas finitas de conjuntos en ). ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S:}$ $${\displaystyle R(S)=\left\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in S\right\}}$$ ${\displaystyle R(S)}$ ${\displaystyle S}$
• Un contenido definido en un semianillo puede extenderse en el anillo generado por Tal extensión es única. El contenido extendido puede escribirse: para con el disjunto. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ $${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$$ ${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\in S}$

Además, se puede probar que es una premedida si y sólo si el contenido extendido es también una premedida, y que cualquier premedida en que extienda la premedida en es necesariamente de esta forma. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R(S)}$ ${\displaystyle S}$

Motivación

En teoría de la medida, no nos interesan los semianillos y anillos en sí, sino más bien las σ-álgebras generadas por ellos. La idea es que es posible construir una pre-medida sobre un semi-anillo (por ejemplo, las medidas de Stieltjes ), que luego se puede extender a una pre-medida sobre la cual finalmente se puede extender a una medida sobre una σ-álgebra a través del teorema de extensión de Caratheodory. Como las σ-álgebras generadas por semi-anillos y anillos son las mismas, la diferencia realmente no importa (al menos en el contexto de la teoría de la medida). En realidad, el teorema de extensión de Carathéodory se puede generalizar ligeramente reemplazando el anillo por el semi-cuerpo. ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(S),}$

La definición de semianillo puede parecer un poco complicada, pero el siguiente ejemplo muestra por qué es útil (además, nos permite dar una representación explícita del anillo más pequeño que contiene algún semianillo).

Ejemplo

Pensemos en el subconjunto de definido por el conjunto de todos los intervalos semiabiertos para los números reales a y b. Este es un semianillo, pero no un anillo. Las medidas de Stieltjes están definidas en intervalos; la aditividad numerable en el semianillo no es demasiado difícil de demostrar porque solo consideramos uniones numerables de intervalos que son intervalos en sí mismos. Demostrarla para uniones numerables arbitrarias de intervalos se logra utilizando el teorema de Caratheodory. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [a,b)}$

Enunciado del teorema

Sea un anillo de conjuntos en y sea una premedida en lo que significa que y para todos los conjuntos para los que existe una descomposición contable en conjuntos disjuntos tenemos ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :R\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle A\in R}$ ${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R,}$ $${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$$

Sea la -álgebra generada por La condición de pre-medida es una condición necesaria para ser la restricción a de una medida en El teorema de extensión de Carathéodory establece que también es suficiente, ^[3] es decir, existe una medida tal que es una extensión de que es, Además, si es -finito entonces la extensión es única (y también -finita). ^[4] ${\displaystyle \sigma (R)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sigma (R).}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }:\sigma (R)\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mu ;}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }{\big \vert }_{R}=\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Boceto de prueba

Primero extendamos hasta una medida exterior en el conjunto potencia de por y luego restrinjámoslo al conjunto de conjuntos -medibles (es decir, conjuntos -medibles de Carathéodory ), que es el conjunto de todos los tales que para cada es un -álgebra, y es -aditivo en ella, por el lema de Caratheodory. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in R\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Queda por comprobar que contiene Es decir, verificar que cada conjunto en es -medible. Esto se hace mediante técnicas básicas de teoría de la medida de división y suma de conjuntos. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Para la unicidad, tome cualquier otra extensión de modo que quede por demostrar que por -aditividad, la unicidad se puede reducir al caso donde es finito, lo cual se supondrá ahora. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =\mu ^{*}.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu (X)}$

Ahora podríamos probar concretamente mediante el uso de la jerarquía de Borel de y dado que en el nivel base, podemos usar la inducción bien ordenada para alcanzar el nivel de ${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \sigma (R)}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{1},}$ ${\displaystyle \sigma (R).}$

Ejemplos de no unicidad de extensión

Puede haber más de una extensión de una pre-medida a la σ-álgebra generada, si la pre-medida no es -finita, incluso si las extensiones mismas son -finitas (ver el ejemplo "Vía racionales" a continuación). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

A través de la medida de conteo

Tomemos el álgebra generada por todos los intervalos semiabiertos [ a , b ) en la recta real, y demos a dichos intervalos la medida infinita si no están vacíos. La extensión de Carathéodory da a todos los conjuntos no vacíos la medida infinita. Otra extensión la da la medida de conteo .

Por medio de racionales

Este ejemplo es una variación más detallada del anterior. El intervalo cerrado-abierto racional es cualquier subconjunto de de la forma , donde . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$

Sea y sea el álgebra de todas las uniones finitas de intervalos racionales cerrados-abiertos contenidos en . Es fácil demostrar que es, de hecho, un álgebra. También es fácil ver que el cardinal de todo conjunto no vacío en es . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Sea la función de conjunto de conteo ( ) definida en . Es claro que es finitamente aditiva y -aditiva en . Como todo conjunto no vacío en es infinito, entonces, para todo conjunto no vacío , ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle A\in \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}(A)=+\infty }$

Ahora, sea el -álgebra generado por . Es fácil ver que es el -álgebra de todos los subconjuntos de , y tanto como son medidas definidas en y ambas son extensiones de . Nótese que, en este caso, las dos extensiones son -finitas, porque es contable. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle 2\#}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

Mediante el teorema de Fubini

Otro ejemplo está estrechamente relacionado con el fracaso de algunas formas del teorema de Fubini para espacios que no son σ-finitos. Supongamos que es el intervalo unitario con medida de Lebesgue y es el intervalo unitario con la medida de conteo discreta. Sea el anillo generado por productos donde es medible según Lebesgue y es cualquier subconjunto, y démosle a este conjunto la medida . Esto tiene una gran cantidad de extensiones diferentes para una medida; por ejemplo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (A){\text{card}}(B)}$

• La medida de un subconjunto es la suma de las medidas de sus secciones horizontales. Esta es la extensión más pequeña posible. Aquí la diagonal tiene medida 0.
• La medida de un subconjunto es donde es el número de puntos del subconjunto con la coordenada dada. La diagonal tiene medida 1. ${\displaystyle \int _{0}^{1}n(x)dx}$ ${\displaystyle n(x)}$ ${\displaystyle x}$
• La extensión de Carathéodory, que es la mayor extensión posible. Cualquier subconjunto de medida finita está contenido en alguna unión de un número contable de líneas horizontales. En particular, la diagonal tiene medida infinita.

Véase también

• Medida exterior : la prueba del teorema de extensión de Carathéodory se basa en el concepto de medida exterior.
• Medidas de Loeb , construidas utilizando el teorema de extensión de Carathéodory.

Referencias

1. Citando a Paul Loya: "Advertencia: he visto el siguiente teorema llamado teorema de extensión de Carathéodory , teorema de extensión de Carathéodory-Fréchet, teorema de extensión de Carathéodory-Hopf, teorema de extensión de Hopf, teorema de extensión de Hahn-Kolmogorov y muchos otros que no recuerdo. Simplemente lo llamaremos teorema de extensión. Sin embargo, leí en el libro de Folland (p. 41) que el teorema se debe originalmente a Maurice René Fréchet (1878-1973), quien lo demostró en 1924". Paul Loya (página 33).
2. Klenke, Achim (2014). Teoría de la probabilidad . Universitext. p. Teorema 1.53. doi :10.1007/978-1-4471-5361-0. ISBN 978-1-4471-5360-3.
3. Vaillant, Noel. "Extensión de Caratheodory" (PDF) . Probability.net . Teorema 4.
4. Ash, Robert B. (1999). Probabilidad y teoría de la medida (2.ª ed.). Academic Press. pág. 19. ISBN 0-12-065202-1.

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