Espacio de Loeb

En matemáticas, un espacio de Loeb es un tipo de espacio de medida introducido por Loeb  (1975) utilizando análisis no estándar .

Construcción

La construcción de Loeb comienza con una función finitamente aditiva de un álgebra interna de conjuntos a los reales no estándar . Defina como dada por la parte estándar de , de modo que es una función finitamente aditiva de a los reales extendidos . Incluso si es un -álgebra no estándar , el álgebra no necesita ser un -álgebra ordinaria ya que no suele estar cerrada bajo uniones contables. En cambio, el álgebra tiene la propiedad de que si un conjunto en ella es la unión de una familia contable de elementos de , entonces el conjunto es la unión de un número finito de elementos de la familia, de modo que en particular cualquier función finitamente aditiva (como ) de a los reales extendidos es automáticamente contablemente aditiva. Defina como el -álgebra generada por . Luego, por el teorema de extensión de Carathéodory, la medida en se extiende a una medida contablemente aditiva en , llamada medida de Loeb. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Referencias

• Cutland, Nigel J. (2000), Medidas de Loeb en la práctica: avances recientes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1751, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b76881, ISBN 978-3-540-41384-4, Sr.  1810844
• Goldblatt, Robert (1998), Lecciones sobre los hiperreales, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 188, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0615-6, ISBN 978-0-387-98464-3, Sr.  1643950
• Loeb, Peter A. (1975). "Conversión de espacios de medida no estándar a estándar y aplicaciones en teoría de la probabilidad". Transactions of the American Mathematical Society . 211 : 113–22. doi : 10.2307/1997222 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1997222. MR  0390154 – vía JSTOR .

Enlaces externos

• Página de inicio de Peter Loeb