Teorema de extensión de Carathéodory

Teorema que extiende las premedidas a las medidas.

En la teoría de la medida , el teorema de extensión de Carathéodory (llamado así por el matemático Constantin Carathéodory ) establece que cualquier premedida definida en un anillo dado de subconjuntos R de un conjunto Ω dado puede extenderse a una medida en el anillo σ generado por R , y esta extensión es única si la premedida es σ-finita . En consecuencia, cualquier medida previa en un anillo que contenga todos los intervalos de números reales se puede extender al álgebra de Borel del conjunto de números reales. Este es un resultado extremadamente poderoso de la teoría de la medida y conduce, por ejemplo, a la medida de Lebesgue .

El teorema también se conoce a veces como teorema de extensión de Carathéodory- Fréchet , teorema de extensión de Carathéodory- Hopf , teorema de extensión de Hopf y teorema de extensión de Hahn - Kolmogorov . ^[1]

Declaración introductoria

Se pueden dar varios enunciados muy similares del teorema. Más abajo se muestra uno un poco más complicado, basado en semi-anillos de conjuntos. Una declaración más breve y sencilla es la siguiente. De esta forma, a menudo se le llama teorema de Hahn-Kolmogorov .

Sea un álgebra de subconjuntos de un conjunto Considere una función de conjunto ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \mu _{0}:\Sigma _{0}\to [0,\infty ]}$$

finitamente aditivo

$${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu _{0}(A_{n})}$$

para cualquier conjunto enterodisjunto ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}.}$

Supongamos que esta función satisface el supuesto de aditividad sigma más fuerte

$${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})}$$

premedidasálgebra ${\displaystyle \{A_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}.}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$

$${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\infty ]}$$

restricción ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}.}$

Si es finito, entonces la extensión es única. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Comentarios

Este teorema es notable porque permite construir una medida definiéndola primero en un pequeño álgebra de conjuntos, donde su aditividad sigma podría ser fácil de verificar, y luego este teorema garantiza su extensión a un álgebra sigma. La demostración de este teorema no es trivial, ya que requiere extender desde un álgebra de conjuntos a un álgebra sigma potencialmente mucho mayor, garantizando que la extensión sea única (si es -finita), y además que no deje de satisfacer el sigma-aditividad de la función original. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Semianillo y anillo

Definiciones

Para un conjunto dado llamamos familia de subconjuntos de un ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \Omega }$semianillo de conjuntos si tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$
• Para todo lo que tenemos (cerrado bajo intersecciones por pares) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}}}$
• Para todos existe un número finito de conjuntos disjuntos tales que ( los complementos relativos se pueden escribir como uniones disjuntas finitas ). ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle K_{i}\in {\mathcal {S}},i=1,2,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}}$

La primera propiedad se puede reemplazar con desde ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}\implies A\setminus A=\varnothing \in {\mathcal {S}}.}$

Con la misma notación, llamamos familia de subconjuntos de un ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \Omega }$anillo de conjuntos si tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {R}}}$
• Por todo lo que tenemos (cerrado bajo uniones por pares) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
• Para todos tenemos (cerrado bajo complementos relativos). ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$ ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$

Por tanto, cualquier anillo también es un semianillo. ${\displaystyle \Omega }$

A veces, se agrega la siguiente restricción en el contexto de la teoría de la medida:

• ${\displaystyle \Omega }$es la unión disjunta de una familia contable de conjuntos en ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Un campo de conjuntos (respectivamente, un semicampo) es un anillo (respectivamente, un semianillo) que también contiene como uno de sus elementos. ${\displaystyle \Omega }$

Propiedades

• Las intersecciones arbitrarias (posiblemente incontables ) de anillos siguen siendo anillos ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega .}$
• Si es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de entonces definimos el anillo generado por (observado ) como la intersección de todos los anillos que contienen. Es sencillo ver que el anillo generado por es el anillo más pequeño que contiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R(A)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
• Para un semianillo, el conjunto de todas las uniones finitas de conjuntos es el anillo generado por ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S:}$
  $${\displaystyle R(S)=\left\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in S\right\}}$$
  (Se puede demostrar que es igual al conjunto de todas las uniones finitas disjuntas de conjuntos en ). ${\displaystyle R(S)}$ ${\displaystyle S}$
• Un contenido definido en un semianillo se puede extender en el anillo generado por Tal extensión es única. El contenido ampliado se puede escribir: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
  $${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$$
  para con el disjunto. ${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\in S}$

Además, se puede demostrar que es una premedida si y sólo si el contenido ampliado también es una premedida, y que cualquier premedida que amplíe la premedida es necesariamente de esta forma. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R(S)}$ ${\displaystyle S}$

Motivación

En la teoría de la medida, no nos interesan los semianillos y los anillos en sí, sino más bien las σ-álgebras generadas por ellos. La idea es que es posible construir una premedida en un semianillo (por ejemplo, medidas de Stieltjes ), que luego se puede extender a una premedida que finalmente se puede extender a una medida en un álgebra σ mediante Teorema de extensión de Caratheodory. Como las σ-álgebras generadas por semi-anillos y anillos son iguales, la diferencia realmente no importa (al menos en el contexto de la teoría de la medida). En realidad, el teorema de extensión de Carathéodory se puede generalizar ligeramente reemplazando anillo por semicampo. ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(S),}$

La definición de semianillo puede parecer un poco complicada, pero el siguiente ejemplo muestra por qué es útil (además, nos permite dar una representación explícita del anillo más pequeño que contiene algún semianillo).

Ejemplo

Piense en el subconjunto de definido por el conjunto de todos los intervalos semiabiertos para a y b reales. Este es un semianillo, pero no un anillo. Las medidas de Stieltjes se definen en intervalos; La aditividad contable en el semianillo no es demasiado difícil de probar porque sólo consideramos uniones contables de intervalos que son intervalos en sí mismos. Demostrarlo para uniones arbitrarias contables de intervalos se logra utilizando el teorema de Caratheodory. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [a,b)}$

Declaración del teorema

Sea un anillo de conjuntos y una medida previa del significado de eso y para todos los conjuntos para los cuales existe una descomposición contable en conjuntos disjuntos , tenemos ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :R\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle A\in R}$ ${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R,}$

$${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$$

Sea el -álgebra generada por La condición previa a la medida es una condición necesaria para ser la restricción de una medida en El teorema de extensión de Carathéodory establece que también es suficiente, ^[3] es decir, existe una medida tal que es una extensión de eso es. Además, si es finita , entonces la extensión es única (y también finita). ^[4] ${\displaystyle \sigma (R)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sigma (R).}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }:\sigma (R)\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mu ;}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }{\big \vert }_{R}=\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Bosquejo de prueba

Primero extienda a una medida exterior en el conjunto de potencias de por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in R\right\}}$$

conjuntos medibles de Carathéodory ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Queda por comprobar que contiene . Es decir, verificar que cada conjunto sea medible. Esto se hace mediante técnicas básicas de la teoría de la medida para dividir y sumar conjuntos. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Para la unicidad, tome cualquier otra extensión, por lo que queda por demostrar que por aditividad, la unicidad se puede reducir al caso en el que es finita, lo que ahora se supondrá. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =\mu ^{*}.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu (X)}$

Ahora podríamos demostrar concretamente usando la jerarquía de Borel de y desde en el nivel base, podemos usar inducción bien ordenada para alcanzar el nivel de ${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \sigma (R)}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{1},}$ ${\displaystyle \sigma (R).}$

Ejemplos de no unicidad de extensión

Puede haber más de una extensión de una premedida al σ-álgebra generada, si la premedida no es finita, incluso si las extensiones en sí son finitas (ver ejemplo "Vía racionales" a continuación). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

A través de la medida de conteo

Tome el álgebra generada por todos los intervalos medio abiertos [ a , b ) en la línea real, y dé a dichos intervalos medida infinita si no están vacíos. La extensión Carathéodory da a todos los conjuntos no vacíos medida infinita. Otra extensión viene dada por la medida de conteo .

A través de racionales

Este ejemplo es una variación más detallada del anterior. El intervalo racional cerrado-abierto es cualquier subconjunto de de la forma , donde . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$

Sea y sea el álgebra de todas las uniones finitas de intervalos racionales cerrados-abiertos contenidos en . Es fácil demostrar que , de hecho, es un álgebra. También es fácil ver que el cardinal de todo conjunto no vacío es . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Sea la función del conjunto de conteo ( ) definida en . Está claro que es finitamente aditivo y -aditivo en . Dado que cada conjunto no vacío es infinito, entonces, para cada conjunto no vacío , ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle A\in \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}(A)=+\infty }$

Ahora, sea el -álgebra generada por . Es fácil ver que es el álgebra de todos los subconjuntos de , y ambos y son medidas definidas en y ambos son extensiones de . Tenga en cuenta que, en este caso, las dos extensiones son finitas, porque son contables. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle 2\#}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

A través del teorema de Fubini

Otro ejemplo está estrechamente relacionado con el fracaso de algunas formas del teorema de Fubini para espacios que no son σ-finitos. Supongamos que es el intervalo unitario con la medida de Lebesgue y es el intervalo unitario con la medida de conteo discreta. Deje que el anillo sea generado por productos donde Lebesgue sea medible y sea cualquier subconjunto, y déle a este conjunto la medida . Esto tiene una gran cantidad de extensiones diferentes para una medida; Por ejemplo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (A){\text{card}}(B)}$

• La medida de un subconjunto es la suma de las medidas de sus secciones horizontales. Esta es la extensión más pequeña posible. Aquí la diagonal tiene medida 0.
• La medida de un subconjunto es donde está el número de puntos del subconjunto con una coordenada dada. La diagonal tiene medida 1. ${\displaystyle \int _{0}^{1}n(x)dx}$ ${\displaystyle n(x)}$ ${\displaystyle x}$
• La ampliación de Carathéodory, que es la mayor ampliación posible. Cualquier subconjunto de medida finita está contenido en alguna unión de un número contable de líneas horizontales. En particular la diagonal tiene medida infinita.

Ver también

• Medida exterior : la prueba del teorema de extensión de Carathéodory se basa en el concepto de medida exterior.
• Medidas de Loeb , construidas utilizando el teorema de extensión de Carathéodory.

Referencias

1. Citando a Paul Loya: "Advertencia: he visto el siguiente teorema llamado teorema de extensión de Carathéodory , teorema de extensión de Carathéodory-Fréchet, teorema de extensión de Carathéodory-Hopf, teorema de extensión de Hopf, teorema de extensión de Hahn-Kolmogorov y muchos otros. ¡Eso no lo recuerdo! Simplemente lo llamaremos Teorema de extensión. Sin embargo, leí en el libro de Folland (p. 41) que el teorema se debe originalmente a Maurice René Fréchet (1878-1973), quien lo demostró en 1924. Pablo Loya (página 33).
2. Klenke, Achim (2014). Teoría de probabilidad . Texto universitario. pag. Teorema 1.53. doi :10.1007/978-1-4471-5361-0. ISBN 978-1-4471-5360-3.
3. Vaillant, Noël. "Extensión de Caratheodory" (PDF) . Probabilidad.net . Teorema 4.
4. Ceniza, Robert B. (1999). Teoría de la probabilidad y la medida (2ª ed.). Prensa académica. pag. 19.ISBN​ 0-12-065202-1.

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