Anillo de conjuntos

Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos

En matemáticas , existen dos nociones diferentes de anillo de conjuntos , ambas referidas a ciertas familias de conjuntos .

En la teoría del orden , una familia no vacía de conjuntos se denomina anillo (de conjuntos) si está cerrada bajo unión e intersección . ^[1] Es decir, las dos afirmaciones siguientes son verdaderas para todos los conjuntos y , ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica y ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}.}$

En teoría de la medida , una familia no vacía de conjuntos se denomina anillo (de conjuntos) si está cerrada bajo unión y complemento relativo (diferencia de teoría de conjuntos). ^[2] Es decir, las dos afirmaciones siguientes son verdaderas para todos los conjuntos y , ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica y ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}.}$

Esto implica que un anillo en el sentido de la teoría de la medida siempre contiene el conjunto vacío . Además, para todos los conjuntos A y B ,

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B),}$

lo que demuestra que una familia de conjuntos cerrados bajo complemento relativo también está cerrada bajo intersección, de modo que un anillo en el sentido de teoría de la medida es también un anillo en el sentido de teoría del orden.

Ejemplos

Si X es cualquier conjunto, entonces el conjunto potencia de X (la familia de todos los subconjuntos de X ) forma un anillo de conjuntos en cualquier sentido.

Si ( X , ≤) es un conjunto parcialmente ordenado , entonces sus conjuntos superiores (los subconjuntos de X con la propiedad adicional de que si x pertenece a un conjunto superior U y x ≤ y , entonces y también debe pertenecer a U ) son cerrados tanto ante intersecciones como ante uniones. Sin embargo, en general no serán cerrados ante diferencias de conjuntos.

Los conjuntos abiertos y cerrados de cualquier espacio topológico son cerrados tanto bajo uniones como intersecciones. ^[1]

En la línea real R , la familia de conjuntos que consiste en el conjunto vacío y todas las uniones finitas de intervalos semiabiertos de la forma ( a , b ] , con a , b ∈ R es un anillo en el sentido de la teoría de la medida.

Si T es cualquier transformación definida en un espacio, entonces los conjuntos que son mapeados en sí mismos por T son cerrados bajo uniones e intersecciones. ^[1]

Si dos anillos de conjuntos están definidos en los mismos elementos, entonces los conjuntos que pertenecen a ambos anillos forman un anillo de conjuntos. ^[1]

Estructuras relacionadas

Un anillo de conjuntos en el sentido de la teoría del orden forma una red distributiva en la que las operaciones de intersección y unión corresponden a las operaciones de encuentro y unión de la red , respectivamente. A la inversa, toda red distributiva es isomorfa a un anillo de conjuntos; en el caso de redes distributivas finitas , este es el teorema de representación de Birkhoff y los conjuntos pueden tomarse como los conjuntos inferiores de un conjunto parcialmente ordenado. ^[1]

Una familia de conjuntos cerrados bajo unión y complemento relativo también está cerrada bajo diferencia simétrica e intersección. A la inversa, toda familia de conjuntos cerrados tanto bajo diferencia simétrica como intersección también está cerrada bajo unión y complemento relativo. Esto se debe a las identidades

1. ${\displaystyle A\cup B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)}$y
2. ${\displaystyle A\setminus B=A\,\triangle \,(A\cap B).}$

La diferencia simétrica y la intersección juntas dan a un anillo, en el sentido teórico de la medida, la estructura de un anillo booleano .

En el sentido de la teoría de la medida, un σ-anillo es un anillo cerrado bajo uniones contables , y un δ-anillo es un anillo cerrado bajo intersecciones contables. Explícitamente, un σ-anillo sobre es un conjunto tal que para cualquier secuencia tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},}$ ${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}.}$

Dado un conjunto, un cuerpo de conjuntos −también llamado álgebra sobre − es un anillo que contiene Esta definición implica que un álgebra es cerrada bajo complemento absoluto Una σ-álgebra es un álgebra que también es cerrada bajo uniones numerables, o equivalentemente un σ-anillo que contiene De hecho, por las leyes de De Morgan , un δ-anillo que contiene es necesariamente también una σ-álgebra. Los cuerpos de conjuntos, y especialmente las σ-álgebras, son fundamentales para la teoría moderna de la probabilidad y la definición de medidas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Un semianillo (de conjuntos) es una familia de conjuntos con las propiedades ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}},}$
   • Si (3) se cumple, entonces si y sólo si ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$implica y ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}},}$
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$implica para algunos disjuntos ${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.}$

Todo anillo (en el sentido de la teoría de la medida) es un semianillo. Por otra parte, on es un semianillo pero no un anillo, ya que no está cerrado bajo uniones. ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{\emptyset ,\{x\},\{y\}\}}$ ${\displaystyle X=\{x,y\}}$

ALa semiálgebra ^[3]ofamilia elemental ^[4]es una colecciónde subconjuntos quesatisfacen las propiedades del semianillo excepto que (3) se reemplaza por: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

• Si entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente disjuntos tales que ${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Esta condición es más fuerte que (3), lo que se puede ver de la siguiente manera. Si es una semiálgebra y , entonces podemos escribir para disjuntos . Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup \ldots \cup F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}\in S}$ $${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup \ldots \cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup \ldots \cup (E\cap F_{n})}$$

y cada uno puesto que es cerrado bajo intersección, y disjunto puesto que están contenidos en el 's disjunto. Además la condición es estrictamente más fuerte: cualquiera que sea a la vez un anillo y una semiálgebra es un álgebra, por lo tanto cualquier anillo que no sea un álgebra tampoco es una semiálgebra (por ejemplo, la colección de conjuntos finitos en un conjunto infinito ). ${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Clase monótona  – teoremaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativaPáginas que muestran descripciones breves sin espacios
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables
• Anillo 𝜎  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

Referencias

1. Birkhoff, Garrett (1937), "Anillos de conjuntos", Duke Mathematical Journal , 3 (3): 443–454, doi :10.1215/S0012-7094-37-00334-X, MR  1546000.
2. De Barra, Gar (2003), Teoría de la medida e integración , Horwood Publishing, pág. 13, ISBN 9781904275046.
3. Durrett 2019, págs. 3-4.
4. Folland 1999, pág. 23.

Fuentes

• Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5.ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .
• Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-31716-0.

Enlaces externos

• Anillo de conjuntos en la Enciclopedia de Matemáticas