Medición previa

En matemáticas , una premedida es una función de conjunto que, en cierto sentido, es precursora de una medida auténtica en un espacio dado. De hecho, uno de los teoremas fundamentales de la teoría de la medida establece que una premedida puede extenderse a una medida.

Definición

Sea un anillo de subconjuntos (cerrado bajo unión y complemento relativo ) de un conjunto fijo y sea una función de conjunto . se llama pre-medida si y, para cada secuencia contable (o finita) de conjuntos disjuntos por pares cuya unión se encuentra en La segunda propiedad se llama -aditividad . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu _{0}:R\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ $${\displaystyle \mu _{0}(\varnothing )=0}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n}).}$$ ${\displaystyle \sigma }$

Así pues, lo que falta para que una premedida sea una medida es que no esté necesariamente definida en un álgebra sigma (o un anillo sigma ).

Teorema de extensión de Carathéodory

Resulta que las premedidas dan lugar de forma bastante natural a medidas externas , que se definen para todos los subconjuntos del espacio Más precisamente, si es una premedida definida en un anillo de subconjuntos del espacio , entonces la función de conjunto definida por es una medida externa en y la medida inducida por en el -álgebra de conjuntos medibles por Carathéodory satisface para (en particular, incluye ). El ínfimo del conjunto vacío se toma como ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu _{0}(A)}$ ${\displaystyle A\in R}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +\infty .}$

(Tenga en cuenta que existen algunas variaciones en la terminología utilizada en la literatura. Por ejemplo, Rogers (1998) utiliza "medida" donde este artículo utiliza el término "medida externa". Las medidas externas no son, en general, medidas, ya que pueden no ser aditivas.) ${\displaystyle \sigma }$

Véase también

• Teorema de Hahn-Kolmogorov  : teorema que extiende las premedidas a las medidasPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Munroe, ME (1953). Introducción a la medida y la integración . Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. p. 310. Sr. 0053186
• Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Cambridge Mathematical Library (tercera edición). Cambridge: Cambridge University Press. pág. 195. ISBN. 0-521-62491-6. MR 1692618 (Ver apartado 1.2.)
• Folland, GB (1999). Análisis real . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., págs. 30-31. ISBN 0-471-31716-0.