Función de conjunto aditivo sigma

Función de mapeo

En matemáticas , una función de conjunto aditivo es una función que asigna conjuntos a números, con la propiedad de que su valor en una unión de dos conjuntos disjuntos es igual a la suma de sus valores en estos conjuntos, es decir, si esta propiedad de aditividad se cumple para dos conjuntos cualesquiera, entonces también es válido para cualquier número finito de conjuntos, es decir, el valor de la función en la unión de k conjuntos disjuntos (donde k es un número finito) es igual a la suma de sus valores en los conjuntos. Por lo tanto, una función de conjunto aditivo también se denomina función de conjunto finitamente aditiva (los términos son equivalentes). Sin embargo, una función de conjunto finitamente aditiva podría no tener la propiedad de aditividad para una unión de un número infinito de conjuntos. Una función de conjunto σ-aditiva es una función que tiene la propiedad de aditividad incluso para conjuntos contablemente infinitos , es decir, ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

La aditividad y la aditividad sigma son propiedades de las medidas particularmente importantes . Son abstracciones de cómo se suman las propiedades intuitivas de tamaño ( longitud , área , volumen ) de un conjunto al considerar múltiples objetos. La aditividad es una condición más débil que la σ-aditividad; es decir, σ-aditividad implica aditividad.

El término función de conjunto modular es equivalente a función de conjunto aditivo; ver modularidad a continuación.

Funciones de conjunto aditivas (o finitamente aditivas)

Sea una función de conjunto definida en un álgebra de conjuntos con valores en (ver la recta de números reales extendida ). La función se llama ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$aditivo ofinitamente aditivo , si siempreysonconjuntos disjuntosenentonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$

${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

Se puede probar por inducción matemática que una función aditiva satisface

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$

${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

Funciones de conjunto σ-aditivo

Supongamos que es una σ-álgebra . Si para cada secuencia de conjuntos disjuntos por pares en ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$

contablemente aditivo𝜎-aditivo ${\displaystyle \mu }$

Funciones de conjunto τ-aditivo

Supongamos que además de un álgebra sigma tenemos una topología If para cada familia dirigida de conjuntos abiertos medibles ${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$

interno regular^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedades

Las propiedades útiles de una función de conjunto aditivo incluyen las siguientes. ${\displaystyle \mu }$

Valor del conjunto vacío

O asigna a todos los conjuntos de su dominio, o asigna a todos los conjuntos de su dominio. Prueba : la aditividad implica que para cada conjunto If entonces esta igualdad sólo puede satisfacerse con más o menos infinito. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

monotonicidad

Si no es negativo y entonces Es decir, es un ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$ ${\displaystyle \mu }$Función de configuración monótona . De manera similar, sino es positivo yentonces ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

Modularidad

Una función de conjunto en una familia de conjuntos se llama ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$función de conjunto modular y unavaloración si siempreyson elementos deentonces ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$

$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$

modularidad

Dado y prueba : escriba y y donde todos los conjuntos de la unión son disjuntos. La aditividad implica que ambos lados de la igualdad son iguales ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$ ${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$ ${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$ ${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

Sin embargo, las propiedades relacionadas de submodularidad y subaditividad no son equivalentes entre sí.

Tenga en cuenta que la modularidad tiene un significado diferente y no relacionado en el contexto de funciones complejas; ver forma modular .

Establecer diferencia

Si y está definido, entonces ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

Ejemplos

Un ejemplo de una función 𝜎-aditiva es la función definida sobre el conjunto de potencias de los números reales , tal que ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Si es una secuencia de conjuntos disjuntos de números reales, entonces ninguno de los conjuntos contiene 0, o precisamente uno de ellos lo contiene. En cualquier caso, la igualdad ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

Consulta medida y medida con signo para ver más ejemplos de funciones 𝜎-aditivas.

Una carga se define como una función de conjunto finitamente aditiva que se asigna a ^[2] (consulte el espacio ba para obtener información sobre cargas acotadas , donde decimos que una carga está acotada significa que su rango es un subconjunto acotado de R ). ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 0.}$

Una función aditiva que no es σ-aditiva

Un ejemplo de una función aditiva que no es σ-aditiva se obtiene considerando , definida sobre los conjuntos de Lebesgue de los números reales mediante la fórmula ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$

medida de Lebesguelímite de Banach ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$ ${\displaystyle \sup A<\infty }$ ${\displaystyle \mu (A)=0.}$

Se puede comprobar que esta función es aditiva utilizando la linealidad del límite. Que esta función no es σ-aditiva se deduce considerando la secuencia de conjuntos disjuntos

$${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$

reales positivos ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (A_{n})}$

Generalizaciones

Se pueden definir funciones aditivas con valores en cualquier monoide aditivo (por ejemplo, cualquier grupo o, más comúnmente, un espacio vectorial ). Para la aditividad sigma, es necesario además que el concepto de límite de una secuencia esté definido en ese conjunto. Por ejemplo, las medidas espectrales son funciones sigma-aditivas con valores en el álgebra de Banach . Otro ejemplo, también de la mecánica cuántica, es la medida positiva valorada por el operador .

Ver también

• Mapa aditivo  : homomorfismo del módulo Z
• Teorema de Hahn-Kolmogorov  : teorema que extiende las medidas previas a las medidasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• medida σ-finita  – medida matemáticaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Medida con signo  : noción generalizada de medida en matemáticas
• Función de conjunto submodular  : mapa establecido en real con rendimientos decrecientes
• Función de conjunto subaditivo
• τ-aditividad
• espacio ba : el conjunto de cargas acotadas en un álgebra sigma determinada

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Referencias

1. Teoría de la medida de DH Fremlin , volumen 4 , Torres Fremlin, 2003.
2. Bhaskara Rao, KPS; Bhaskara Rao, M. (1983). Teoría de cargas: un estudio de medidas finitamente aditivas. Londres: Academic Press. pag. 35.ISBN​ 0-12-095780-9. OCLC  21196971.