Medida de Lebesgue de dimensión infinita

Folclore matemático

Una medida de Lebesgue de dimensión infinita es una medida definida en espacios vectoriales normados de dimensión infinita , como los espacios de Banach , que se asemeja a la medida de Lebesgue utilizada en espacios de dimensión finita.

Sin embargo, la medida tradicional de Lebesgue no se puede extender directamente a todos los espacios de dimensión infinita debido a una limitación clave: cualquier medida de Borel invariante a la traducción en un espacio de Banach separable de dimensión infinita debe ser infinita para todos los conjuntos o cero para todos los conjuntos. A pesar de esto, ciertas formas de medidas de dimensión infinita similares a Lebesgue pueden existir en contextos específicos. Estos incluyen espacios no separables como el cubo de Hilbert , o escenarios donde se modifican u omiten algunas propiedades típicas de las medidas de Lebesgue de dimensión finita.

Motivación

La medida de Lebesgue en el espacio euclidiano es localmente finita , estrictamente positiva e invariante en cuanto a la traslación . Es decir: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• cada punto en tiene un vecindario abierto con medida finita: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle \lambda (N_{x})<+\infty ;}$
• cada subconjunto abierto no vacío de tiene medida positiva: y ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lambda (U)>0;}$
• Si es cualquier subconjunto medible según Lebesgue de y es un vector en entonces todas las traducciones de tienen la misma medida: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda (A+h)=\lambda (A).}$

Motivada por su importancia geométrica, la construcción de medidas que satisfagan las propiedades establecidas anteriormente para espacios de dimensión infinita, como los espacios dimensionales o los espacios de trayectorias, sigue siendo un área de investigación abierta y activa. ${\displaystyle L^{p}}$

Teorema de inexistencia en espacios de Banach separables

Enunciado del teorema

Sea un espacio de Banach separable y de dimensión infinita . Entonces, la única medida de Borel localmente finita e invariante en la traslación de es una medida trivial . De manera equivalente, no existe ninguna medida localmente finita, estrictamente positiva e invariante en la traslación de . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

De manera más general: en un grupo polaco no localmente compacto , no puede existir una medida de Borel σ-finita e invariante a la izquierda . ^[1] ${\displaystyle G}$

Este teorema implica que en un espacio de Banach separable de dimensión infinita (que no puede ser localmente compacto ) no existe una medida que coincida perfectamente con las propiedades de una medida de Lebesgue de dimensión finita.

Prueba

Sea un espacio de Banach separable de dimensión infinita dotado de una medida invariante en la traslación localmente finita . Para demostrar que es la medida trivial, es suficiente y necesario demostrar que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Como todo espacio métrico separable , es un espacio de Lindelöf , lo que significa que toda cobertura abierta de tiene una subcobertura contable. Por lo tanto, basta con demostrar que existe alguna cobertura abierta de por conjuntos nulos porque al elegir una subcobertura contable, la σ-subaditividad de implicará que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Utilizando la finitud local de la medida , supongamos que para algunos la bola abierta de radio tiene una medida finita. Como es de dimensión infinita, por el lema de Riesz hay una secuencia infinita de bolas abiertas disjuntas por pares , de radio con todas las bolas más pequeñas contenidas dentro. Por invariancia de traslación, todas las bolas de la cubierta tienen la misma medida, y como la suma infinita de estas medidas finitas es finita, las bolas de la cubierta deben tener todas medida cero. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{n}(r/4),}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle r/4,}$ ${\displaystyle B_{n}(r/4)}$ ${\displaystyle B(r).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Como era arbitrario, cada bola abierta en tiene medida cero , y tomando una cubierta de la cual es el conjunto de todas las bolas abiertas que completa la prueba de que . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=0}$

Medidas no triviales

A continuación se muestran algunos ejemplos de medidas de Lebesgue de dimensión infinita que pueden existir si se relajan las condiciones del teorema anterior.

Un ejemplo de un espacio de Banach completamente separable es la construcción abstracta del espacio de Wiener , similar a un producto de medidas gaussianas (que no son invariantes en la traducción). Otro enfoque es considerar una medida de Lebesgue de subespacios de dimensión finita dentro del espacio más grande y observar los conjuntos prevalentes y tímidos . ^[2]

El cubo de Hilbert lleva la medida de Lebesgue del producto ^[3] y el grupo topológico compacto dado por el producto de Tichonoff de un número infinito de copias del grupo de círculos es de dimensión infinita y lleva una medida de Haar que es invariante en cuanto a la traslación. Estos dos espacios pueden mapearse uno sobre el otro de una manera que preserve la medida desdoblando los círculos en intervalos. El producto infinito de los números reales aditivos tiene la medida de Haar del producto análogo, que es precisamente el análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Medida de juego de cilindros  : forma de generar una medida sobre espacios de productosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Cameron-Martin  : Teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.
• Teorema de Feldman-Hájek  - Teoría en teoría de la probabilidad
• Medida gaussiana#Espacios de dimensión infinita  – Tipo de medida de Borel
  • Teorema de estructura para medidas gaussianas  – Teorema matemático
• Medida con valor de proyección  : medida de valor de operador matemático de interés en mecánica cuántica y análisis funcional
• Función de conjunto  : función de conjuntos a números

Referencias

1. Oxtoby, John C. (1946). "Medidas invariantes en grupos que no son localmente compactos". Trans. Amer. Math. Soc . 60 : 216. doi :10.1090/S0002-9947-1946-0018188-5.
2. Hunt, Brian R. y Sauer, Tim y Yorke, James A. (1992). "Prevalencia: un "casi cada" invariante en la traducción en espacios de dimensión infinita". Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238. arXiv : math/9210220 . Bibcode :1992math.....10220H. doi :10.1090/S0273-0979-1992-00328-2. S2CID  17534021.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Oxtoby, John C.; Prasad, Vidhu S. (1978). "Medidas homeomórficas en el cubo de Hilbert". Pacific J. Math . 77 (2): 483–497. doi :10.2140/pjm.1978.77.483.