En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el modelo de Solovay es un modelo construido por Robert M. Solovay (1970) en el que se cumplen todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), excluyendo el axioma de elección , pero en el que todos los conjuntos de números reales son medibles según Lebesgue . La construcción se basa en la existencia de un cardenal inaccesible .
De esta manera Solovay demostró que en la prueba de la existencia de un conjunto no mensurable a partir de ZFC (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección), el axioma de elección es esencial, al menos suponiendo que la existencia de un cardinal inaccesible es consistente con ZFC.
ZF significa teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y DC, el axioma de elección dependiente .
El teorema de Solovay es el siguiente. Suponiendo la existencia de un cardinal inaccesible, existe un modelo interno de ZF + DC de una extensión forzada adecuada V [ G ] tal que cada conjunto de reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad del conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire .
Solovay construyó su modelo en dos pasos, comenzando con un modelo M de ZFC que contiene un cardinal κ inaccesible.
El primer paso es tomar un colapso de Levy M [ G ] de M agregando un conjunto genérico G para la noción de forzamiento que colapsa todos los cardinales menores que κ a ω. Entonces M [ G ] es un modelo de ZFC con la propiedad de que cada conjunto de reales que es definible sobre una secuencia contable de ordinales es medible según Lebesgue y tiene las propiedades de Baire y de conjunto perfecto. (Esto incluye todos los conjuntos de reales definibles y proyectivos ; sin embargo, por razones relacionadas con el teorema de indefinibilidad de Tarski, la noción de un conjunto de reales definibles no puede definirse en el lenguaje de la teoría de conjuntos, mientras que la noción de un conjunto de reales definibles sobre una secuencia contable de ordinales pueden ser.)
El segundo paso es construir el modelo N de Solovay como la clase de todos los conjuntos en M [ G ] que son hereditariamente definibles sobre una secuencia contable de ordinales. El modelo N es un modelo interno de M [ G ] que satisface ZF + DC de modo que todo conjunto de reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad del conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire. La prueba de esto utiliza el hecho de que cada real en M [ G ] es definible sobre una secuencia contable de ordinales y, por tanto, N y M [ G ] tienen los mismos reales.
En lugar de utilizar el modelo N de Solovay , también se puede utilizar el modelo interno más pequeño L ( R ) de M [ G ], que consiste en la clausura construible de los números reales, que tiene propiedades similares.
Solovay sugirió en su artículo que el uso de un cardenal inaccesible podría no ser necesario. Varios autores probaron versiones más débiles del resultado de Solovay sin asumir la existencia de un cardenal inaccesible. En particular, Krivine (1969) demostró que había un modelo de ZFC en el que cada conjunto de reales definibles ordinales es medible, Solovay demostró que hay un modelo de ZF + DC en el que hay alguna extensión invariante de traducción de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos. de los reales, y Shelah (1984) demostró que existe un modelo en el que todos los conjuntos de reales tienen la propiedad de Baire (de modo que el cardinal inaccesible es innecesario en este caso).
El caso de la propiedad del conjunto perfecto fue resuelto por Specker (1957), quien demostró (en ZF) que si todo conjunto de reales tiene la propiedad del conjunto perfecto y el primer cardinal incontable ℵ 1 es regular, entonces ℵ 1 es inaccesible en el construible universo . Combinado con el resultado de Solovay, esto muestra que las afirmaciones "Hay un cardenal inaccesible" y "Cada conjunto de reales tiene la propiedad del conjunto perfecto" son equiconsistentes sobre ZF. [1] pág. 371
Finalmente, Shelah (1984) demostró que la consistencia de un cardinal inaccesible también es necesaria para construir un modelo en el que todos los conjuntos de reales sean mensurables según Lebesgue. Más precisamente, demostró que si cada Σ1 3Si un conjunto de reales es medible, entonces el primer cardinal incontable ℵ 1 es inaccesible en el universo construible, de modo que la condición sobre un cardinal inaccesible no puede eliminarse del teorema de Solovay. Sela también demostró que el Σ1
3La condición es cercana a la mejor posible al construir un modelo (sin usar un cardinal inaccesible) en el que todos los Δ1
3los conjuntos de reales son mensurables. Véase Raisonnier (1984), Stern (1985) y Miller (1989) para exposiciones del resultado de Shelah.
Shelah y Woodin (1990) demostraron que si existen cardinales supercompactos , entonces cada conjunto de reales en L ( R ), los conjuntos construibles generados por los reales, es medible según Lebesgue y tiene la propiedad de Baire; esto incluye todo conjunto de reales "razonablemente definible".