En matemáticas , se dice que un espacio topológico es σ -compacto si es la unión de un número considerable de subespacios compactos . [1]
Se dice que un espacio es σ -localmente compacto si es a la vez σ -compacto y (débilmente) localmente compacto . [2] Esa terminología puede resultar algo confusa ya que no se ajusta al patrón habitual de σ-(propiedad), que significa una unión contable de espacios que satisfacen (propiedad); es por eso que estos espacios se denominan más comúnmente explícitamente σ-compactos (débilmente) localmente compactos , lo que también equivale a ser agotables por conjuntos compactos . [3]
Propiedades y ejemplos
- Cada espacio compacto es σ -compacto, y cada espacio σ -compacto es Lindelöf (es decir, cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable ). [4] Las implicaciones inversas no se cumplen, por ejemplo, el espacio euclidiano estándar ( R n ) es σ -compacto pero no compacto, [5] y la topología del límite inferior en la línea real es Lindelöf pero no σ -compacta. [6] De hecho, la topología de complemento contable en cualquier conjunto incontable es Lindelöf pero ni σ -compacta ni localmente compacta. [7] Sin embargo, es cierto que cualquier espacio de Lindelöf localmente compacto es σ -compacto.
- (Los números irracionales ) no son σ -compactos. [8]
- Un espacio de Hausdorff , Baire que también es σ -compacto, debe ser localmente compacto en al menos un punto.
- Si G es un grupo topológico y G es localmente compacto en un punto, entonces G es localmente compacto en todas partes. Por lo tanto, la propiedad anterior nos dice que si G es un grupo topológico de Hausdorff σ -compacto que también es un espacio de Baire, entonces G es localmente compacto. Esto muestra que para los grupos topológicos de Hausdorff que también son espacios de Baire, la compacidad σ implica compacidad local.
- La propiedad anterior implica, por ejemplo, que R ω no es σ -compacto: si fuera σ -compacto, necesariamente sería localmente compacto ya que R ω es un grupo topológico que también es un espacio de Baire.
- Todo espacio hemicompacto es σ -compacto. [9] Lo contrario, sin embargo, no es cierto; [10] por ejemplo, el espacio de racionales , con la topología habitual, es σ -compacto pero no hemicompacto.
- El producto de un número finito de σ -espacios compactos es σ -compacto. Sin embargo, el producto de un número infinito de σ -espacios compactos puede no ser σ -compacto. [11]
- Un espacio σ -compacto X es de segunda categoría (respectivamente Baire) si y solo si el conjunto de puntos en los que X es localmente compacto no está vacío (respectivamente es denso) en X . [12]
Ver también
Notas
- ^ Steen, pág. 19; Willard, pág. 126.
- ^ Steen, pág. 21.
- ^ "Una pregunta sobre la compacidad local y la compacidad $\sigma$". Intercambio de pilas de matemáticas .
- ^ Steen, pág. 19.
- ^ Steen, pág. 56.
- ^ Steen, pág. 75–76.
- ^ Steen, pág. 50.
- ^ Hart, KP; Nagata, J.; Vaughan, JE (2004). Enciclopedia de Topología General . Elsevier. pag. 170.ISBN 0 444 50355 2.
- ^ Willard, pág. 126.
- ^ Willard, pág. 126.
- ^ Willard, pág. 126.
- ^ Willard, pág. 188.
Referencias
