Teorema de König (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos , el teorema de König establece que si se cumple el axioma de elección , I es un conjunto y son números cardinales para cada i en I y para cada i en I , entonces ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}<\lambda _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\lambda _{i}.}$

La suma aquí es la cardinalidad de la unión disjunta de los conjuntos m _i , y el producto es la cardinalidad del producto cartesiano . Sin embargo, sin el uso del axioma de elección, la suma y el producto no pueden definirse como números cardinales, y sería necesario aclarar el significado del signo de desigualdad.

El teorema de König fue introducido por König  (1904) en la forma ligeramente más débil de que la suma de una secuencia estrictamente creciente de números cardinales distintos de cero es menor que su producto.

Detalles

El enunciado preciso del resultado: si I es un conjunto , A _i y B _i son conjuntos para cada i en I , y para cada i en I , entonces ${\displaystyle A_{i}<B_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}<\prod _{i\in I}B_{i},}$

donde < significa estrictamente menor que en cardinalidad , es decir, hay una función inyectiva de A _i a B _i , pero no una que vaya en sentido contrario. La unión involucrada no necesita ser disjunta (una unión no disjunta no puede ser más grande que la versión disjunta, asumiendo también el axioma de elección ). En esta formulación, el teorema de König es equivalente al axioma de elección . ^[1]

(Por supuesto, el teorema de König es trivial si los números cardinales m _i y n _i son finitos y el conjunto índice I es finito. Si I está vacío , entonces la suma izquierda es la suma vacía y por lo tanto 0, mientras que el producto derecho es el producto vacío y por lo tanto 1).

El teorema de König es notable debido a la estricta desigualdad en la conclusión. Hay muchas reglas fáciles para la aritmética de sumas y productos infinitos de cardinales en los que solo se puede concluir una desigualdad débil ≤, por ejemplo: si para todo i en I , entonces solo se puede concluir ${\displaystyle m_{i}<n_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}m_{i}\leq \sum _{i\in I}n_{i},}$

ya que, por ejemplo, al establecer y , donde el conjunto índice I son los números naturales, se obtiene la suma para ambos lados y tenemos una igualdad. ${\displaystyle m_{i}=1}$ ${\displaystyle n_{i}=2}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Corolarios del teorema de König

• Si es un cardenal, entonces . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa <2^{\kappa }}$

Si tomamos m _i = 1 y n _i = 2 para cada i en κ, entonces el lado izquierdo de la desigualdad anterior es simplemente κ, mientras que el lado derecho es 2 ^κ , la cardinalidad de las funciones desde κ hasta {0, 1}, es decir, la cardinalidad del conjunto potencia de κ. Por lo tanto, el teorema de König nos da una prueba alternativa del teorema de Cantor . (Históricamente, por supuesto, el teorema de Cantor se demostró mucho antes).

Axioma de elección

Una forma de enunciar el axioma de elección es "un producto cartesiano arbitrario de conjuntos no vacíos no es vacío". Sea B _i un conjunto no vacío para cada i en I . Sea A _i = {} para cada i en I . Por lo tanto, por el teorema de König, tenemos:

• Si , entonces . ${\displaystyle \forall i\in I(\{\}<B_{i})}$ ${\displaystyle \{\}<\prod _{i\in I}B_{i}}$

Es decir, el producto cartesiano de los conjuntos no vacíos dados B _i tiene una cardinalidad mayor que la suma de los conjuntos vacíos. Por lo tanto, no es vacío, que es exactamente lo que establece el axioma de elección. Dado que el axioma de elección se desprende del teorema de König, utilizaremos el axioma de elección libremente e implícitamente al analizar las consecuencias del teorema.

Teorema de König y cofinalidad

El teorema de König también tiene consecuencias importantes para la cofinalidad de los números cardinales.

• Si , entonces . ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}}$

Si κ es regular , entonces esto se sigue del teorema de Cantor. Si κ es singular, entonces κ es un cardinal límite. Elijamos una cf(κ)-secuencia estrictamente creciente de cardinales que se aproximen a κ. Sea λ su suma. Cada sumando es menor que κ, por lo que, por el teorema de König, λ es menor que el producto de cf(κ) copias de κ. Terminamos la demostración mostrando que λ = κ. Dado que cada sumando es un límite inferior para λ, λ ≥ κ. Para la otra desigualdad, λ ≤ cf(κ)·κ = κ.

Según el teorema de Easton , la siguiente consecuencia del teorema de König es la única restricción no trivial de la función continua para los cardinales regulares .

• Si y , entonces . ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \lambda \geq 2}$ ${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })}$

Sea . Supongamos que, contrariamente a este corolario, . Entonces, utilizando el corolario anterior, , una contradicción. ${\displaystyle \mu =\lambda ^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )}$ ${\displaystyle \mu <\mu ^{\operatorname {cf} (\mu )}\leq \mu ^{\kappa }=(\lambda ^{\kappa })^{\kappa }=\lambda ^{\kappa \cdot \kappa }=\lambda ^{\kappa }=\mu }$

Una demostración del teorema de König

Suponiendo que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel incluye especialmente el axioma de elección , podemos demostrar el teorema. Recordemos que tenemos , y queremos demostrar : ${\displaystyle \forall i\in I\quad A_{i}<B_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}<\prod _{i\in I}B_{i}.}$

El axioma de elección implica que la condición A < B es equivalente a la condición de que no hay función de A sobre B y B no está vacía. Por lo tanto, se nos da que no hay función de A _i sobre B _i ≠{}, y tenemos que demostrar que cualquier función f de la unión disjunta de los A s al producto de los B s no es sobreyectiva y que el producto no está vacío. Que el producto no está vacío se sigue inmediatamente del axioma de elección y del hecho de que los factores no están vacíos. Para cada i, elijamos un b _i en B _i que no esté en la imagen de A _i bajo la composición de f con la proyección a B _i . Entonces, el producto de los elementos b _i no está en la imagen de f , por lo que f no mapea la unión disjunta de los A s sobre el producto de los B s.

Notas

1. Rubin, H.; Rubin, JE (1985). Equivalentes del axioma de elección, II . Nueva York, NY: North Holland . pp. 185. ISBN. 0-444-87708-8.

Referencias

• M. Holz, K. Steffens y E. Weitz (1999). Introducción a la aritmética cardinal . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6124-7.
• König, J. (1904), "Zum Kontinuum-Problem", en Krazer, Adolf (ed.), Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. Agosto de 1904 , págs. 144-147, archivado desde el original el 4 de enero de 2015 , recuperado 2014-06-14, reimpreso como König, J. (1905), "Zum Kontinuum-Problem", Mathematische Annalen , 60 (2): 177–180, doi :10.1007/BF01677263, S2CID  177788074