En matemáticas , una medida idempotente en un grupo métrico es una medida de probabilidad que es igual a su convolución consigo misma; en otras palabras, una medida idempotente es un elemento idempotente en el semigrupo topológico de medidas de probabilidad en el grupo métrico dado.
Explícitamente, dado un grupo métrico X y dos medidas de probabilidad μ y ν en X , la convolución μ ∗ ν de μ y ν es la medida dada por
para cualquier subconjunto de Borel A de X . (La igualdad de las dos integrales se sigue del teorema de Fubini .) Con respecto a la topología de convergencia débil de medidas , la operación de convolución convierte el espacio de medidas de probabilidad en X en un semigrupo topológico. Por lo tanto, se dice que μ es una medida idempotente si μ ∗ μ = μ .
Se puede demostrar que las únicas medidas de probabilidad idempotentes en un grupo métrico completo y separable son las medidas de Haar normalizadas de subgrupos compactos .
