En matemáticas , especialmente en teoría del orden , un elemento máximo de un subconjunto de algún conjunto preordenado es un elemento de que no es más pequeño que cualquier otro elemento de . Un elemento mínimo de un subconjunto de algún conjunto preordenado se define dualmente como un elemento que no es mayor que cualquier otro elemento en .
Las nociones de elemento máximo y mínimo son más débiles que las de elemento mayor y elemento mínimo , que también se conocen, respectivamente, como máximo y mínimo. El máximo de un subconjunto de un conjunto preordenado es un elemento del cual es mayor o igual que cualquier otro elemento de y el mínimo de se define nuevamente de manera dual. En el caso particular de un conjunto parcialmente ordenado , si bien puede haber como máximo un máximo y como máximo un mínimo, puede haber múltiples elementos máximos o mínimos. [1] [2] Especializándose más en conjuntos totalmente ordenados , las nociones de elemento máximo y máximo coinciden, y las nociones de elemento mínimo y mínimo coinciden.
Como ejemplo, en la colección
ordenada por contención , el elemento { d , o } es mínimo ya que no contiene conjuntos en la colección, el elemento { g , o , a , d } es máximo ya que no hay conjuntos en la colección. que lo contienen, el elemento { d , o , g } no es ninguno de los dos, y el elemento { o , a , f } es mínimo y máximo. Por el contrario, no existe ni un máximo ni un mínimo para
Sea un conjunto preordenado y sea un elemento máximo de con respecto a es un elemento tal que
si satisface entonces necesariamente
De manera similar, unelemento mínimo decon respecto aes un elementotal que
si satisface entonces necesariamente
De manera equivalente, es un elemento mínimo con respecto a si y solo si es un elemento máximo con respecto a dónde por definición, si y solo si (para todos ).
Si no se especifica el subconjunto, se debe asumir que explícitamente, unelemento máximo (respectivamente,elemento mínimo)dees un elemento máximo (resp. mínimo) decon respecto a
Si el conjunto preordenado también resulta ser un conjunto parcialmente ordenado (o más generalmente, si la restricción es un conjunto parcialmente ordenado), entonces es un elemento máximo de si y sólo si no contiene ningún elemento estrictamente mayor que explícitamente, esto significa que no existe cualquier elemento tal que y
La caracterización de elementos mínimos se obtiene utilizando en lugar de
Existencia y unicidad
No es necesario que existan elementos máximos.
Ejemplo 1: Sea donde denota los números reales . Para todos menos (es decir, pero no ).
Ejemplo 2: Sea donde denota los números racionales y donde es irracional.
En general es sólo un orden parcial en If es un elemento maximal y entonces sigue siendo posible que ni ni. Esto deja abierta la posibilidad de que exista más de un elemento maximal.
Ejemplo 3: En la valla todos son mínimos y todos son máximos, como se muestra en la imagen.
Ejemplo 4: Sea A un conjunto con al menos dos elementos y sea el subconjunto del conjunto potencia que consta de subconjuntos singleton , parcialmente ordenados por Este es el poset discreto donde no hay dos elementos comparables y, por lo tanto, cada elemento es máximo (y mínimo). ); Además, para cualquier distinto ni ni
Elementos mayores y menores
Para un conjunto parcialmente ordenado, el núcleo irreflexivo de se denota como y se define por if y
Para miembros arbitrarios se aplica exactamente uno de los siguientes casos:
;
;
;
y son incomparables.
Dado un subconjunto y algunos
si el caso 1 nunca se aplica a ninguno, entonces es un elemento máximo de como se define anteriormente;
Si los casos 1 y 4 nunca se aplican a ninguno, entonces se llama elemento mayor de
Por tanto, la definición de elemento mayor es más fuerte que la de elemento máximo.
De manera equivalente, un elemento mayor de un subconjunto se puede definir como un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de
Un subconjunto puede tener como máximo un elemento mayor. [prueba 1]
El mayor elemento de si existe, es también un elemento máximo de [prueba 2] y el único. [prueba 3]
Por contraposición , si tiene varios elementos máximos, no puede tener un elemento mayor; vea el ejemplo 3. Si satisface la condición de la cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento mayor si, y solo si , tiene un elemento máximo. [prueba 4]
Cuando la restricción de to es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. [prueba 5]
Esta no es una condición necesaria: siempre que tiene un elemento mayor, las nociones también coinciden, como se indicó anteriormente. Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces hay un orden total en [prueba 6]
Dual a mayor es la noción de elemento menor que se relaciona con mínimo de la misma manera que mayor con máximo .
Conjuntos dirigidos
En un conjunto totalmente ordenado , los términos elemento máximo y elemento mayor coinciden, razón por la cual ambos términos se usan indistintamente en campos como el análisis donde solo se consideran los órdenes totales. Esta observación se aplica no sólo a subconjuntos totalmente ordenados de cualquier conjunto parcialmente ordenado, sino también a su generalización teórica del orden a través de conjuntos dirigidos . En un conjunto dirigido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) tiene un límite superior común dentro del conjunto. Si un conjunto dirigido tiene un elemento máximo, también es su elemento mayor [prueba 7] y, por tanto, su único elemento máximo. Para un conjunto dirigido sin elementos máximos o mayores, consulte los ejemplos 1 y 2 anteriores.
Conclusiones similares son válidas para elementos mínimos.
Se encuentra más información introductoria en el artículo sobre teoría del orden .
Propiedades
Cada subconjunto finito no vacío tiene elementos máximos y mínimos. Un subconjunto infinito no necesita tener ninguno de ellos, por ejemplo, los números enteros con el orden habitual.
El conjunto de elementos máximos de un subconjunto es siempre una anticadena , es decir, no hay dos elementos máximos diferentes que sean comparables. Lo mismo se aplica a los elementos mínimos.
Ejemplos
En la eficiencia de Pareto , un óptimo de Pareto es un elemento máximo con respecto al orden parcial de mejora de Pareto, y el conjunto de elementos máximos se denomina frontera de Pareto.
En economía, se puede relajar el axioma de la antisimetría, utilizando pedidos anticipados (generalmente pedidos anticipados totales ) en lugar de pedidos parciales; La noción análoga a elemento máximo es muy similar, pero se utiliza una terminología diferente, como se detalla a continuación.
En la teoría del consumidor, el espacio de consumo es un conjunto , generalmente el ortante positivo de algún espacio vectorial, de modo que cada uno representa una cantidad de consumo especificada para cada bien existente en la economía. Las preferencias de un consumidor suelen estar representadas por un pedido anticipado total de modo que y diga: es como máximo tan preferido como . Cuando y se interpreta que el consumidor es indiferente entre y pero no es razón para concluir que nunca se supone que las relaciones de preferencia sean antisimétricas. En este contexto, para cualquier elemento se dice que es un elemento maximal si implica
que se interpreta como una cesta de consumo que no está dominada por ninguna otra cesta en el sentido de que es y no
Cabe señalar que la definición formal se parece mucho a la de elemento mayor para un conjunto ordenado. Sin embargo, cuando es solo un pedido anticipado, un elemento con la propiedad anterior se comporta de manera muy parecida a un elemento máximo en un pedido. Por ejemplo, un elemento maximal no es único porque no excluye la posibilidad de que (mientras y no implican sino simplemente indiferencia ). La noción de mayor elemento para un pedido anticipado de preferencia sería la de opción más preferida . Es decir, algunos con implica
Una aplicación obvia es la definición de correspondencia de demanda. Sea la clase de funcionales en . Un elemento se denomina funcional de precios o sistema de precios y asigna cada paquete de consumo a su valor de mercado . La correspondencia presupuestaria es una correspondencia que mapea cualquier sistema de precios y cualquier nivel de ingreso en un subconjunto.
La correspondencia de demanda asigna cualquier precio y cualquier nivel de ingreso al conjunto de elementos máximos de .
Se llama correspondencia de demanda porque la teoría predice que, dado y dado, la elección racional de un consumidor será algún elemento
Nociones relacionadas
Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es cofinal si para cada existe algo tal que Cada subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos debe contener todos los elementos máximos.
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se dice que es un conjunto inferior de si está cerrado hacia abajo: si y entonces Cada conjunto inferior de un conjunto finito ordenado es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de
^ Si y son ambos mayores, entonces y y por tanto por antisimetría .
^ Si es el mayor elemento de y entonces Por antisimetría , esto hace ( y ) imposible.
^ Si es un elemento máximo entonces (porque es mayor) y por tanto desde es máximo.
^ Sólo si : ver arriba. - Si : Supongamos que la contradicción tiene solo un elemento máximo, pero ningún elemento mayor. Dado que no es mayor, debe existir algo que sea incomparable a Por lo tanto , no puede ser máximo, es decir, debe ser válido para algunos Este último debe ser incomparable también, ya que contradice la maximalidad de y al mismo tiempo contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, un infinito ascendente Se puede encontrar una cadena (de modo que cada una sea incomparable y no máxima). Esto contradice la condición de la cadena ascendente.
^ Sea un elemento máximo, para cualquier o En el segundo caso, la definición de elemento máximo requiere eso, por lo que se deduce que En otras palabras, es un elemento mayor.
^ Si fueran incomparables, entonces tendrían dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, que contradijeran la coincidencia.
^ Sea máximo. Seamos arbitrarios. Entonces el límite superior común de y satisface , por tanto, por maximalidad. Como se cumple por definición de , tenemos . De ahí el mayor elemento.
^ Richmond, Bettina ; Richmond, Thomas (2009), Una transición discreta a las matemáticas avanzadas, Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 181, ISBN 978-0-8218-4789-3.
^ Scott, William Raymond (1987), Teoría de grupos (2ª ed.), Dover, pág. 22, ISBN978-0-486-65377-8