Teorema de Mittag-Leffler

Retrato de Gösta Mittag-Leffler

En el análisis complejo , el teorema de Mittag-Leffler se refiere a la existencia de funciones meromórficas con polos prescritos . A la inversa, puede utilizarse para expresar cualquier función meromórfica como suma de fracciones parciales . Es hermano del teorema de factorización de Weierstrass , que afirma la existencia de funciones holomorfas con ceros prescritos .

El teorema recibe su nombre del matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, quien publicó versiones del teorema en 1876 y 1884. ^{[1] [2] [3]}

Teorema

Sea un conjunto abierto en y un subconjunto cuyos puntos límite , si los hay, ocurren en el borde de . Para cada en , sea un polinomio en sin coeficiente constante, es decir, de la forma Entonces existe una función meromórfica en cuyos polos son precisamente los elementos de y tal que para cada uno de dichos polos , la función tiene solo una singularidad removible en ; en particular, la parte principal de en es . Además, cualquier otra función meromórfica en con estas propiedades se puede obtener como , donde es una función holomorfa arbitraria en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E\subset U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p_{a}(z)}$ ${\displaystyle 1/(z-a)}$ $${\displaystyle p_{a}(z)=\sum _{n=1}^{N_{a}}{\frac {c_{a,n}}{(z-a)^{n}}}.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle a\in E}$ ${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{a}(z)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=f+h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$

Boceto de prueba

Un posible esquema de prueba es el siguiente. Si es finito, basta con tomar . Si no es finito, considere la suma finita donde es un subconjunto finito de . Si bien es posible que no converja cuando F se acerca a E , se pueden restar funciones racionales bien elegidas con polos fuera de (proporcionados por el teorema de Runge ) sin cambiar las partes principales de y de tal manera que se garantice la convergencia. ${\displaystyle E}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S_{F}(z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S_{F}(z)}$

Ejemplo

Supongamos que deseamos una función meromórfica con polos simples de residuo 1 en todos los enteros positivos. Con la notación anterior, siendo y , el teorema de Mittag-Leffler afirma la existencia de una función meromórfica con parte principal en para cada entero positivo . De manera más constructiva podemos ser $${\displaystyle p_{k}(z)={\frac {1}{z-k}}}$$ ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p_{k}(z)}$ ${\displaystyle z=k}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}.}$$

Esta serie converge normalmente en cualquier subconjunto compacto de (como se puede demostrar usando la prueba M ) a una función meromórfica con las propiedades deseadas. ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} ^{+}}$

Expansiones polares de funciones meromórficas

A continuación se muestran algunos ejemplos de expansiones polares de funciones meromórficas: $${\displaystyle \tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}}$$ $${\displaystyle \csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}}$$ $${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sec ^{2}(z)={\frac {d}{dz}}\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$$

Véase también

• Teorema de Riemann-Roch
• Teorema de Liouville
• Condición de Mittag-Leffler de un límite inverso
• Suma de Mittag-Leffler
• Función Mittag-Leffler

Referencias

1. Mittag-Leffler (1876). "En metod att analytiskt framställa en funktion of racional karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter äro på förhand angifna". Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-Akademiens förhandlingar Estocolmo . 33 (6): 3–16.
2. Mittag-Leffler (1884). "Sobre la representación analítica de funciones monogénicas uniformes de una variable independiente". Acta Matemática . 4 : 1–79. doi : 10.1007/BF02418410 . S2CID  124051413.
3. Turner, Laura E. (1 de febrero de 2013). "El teorema de Mittag-Leffler: origen, evolución y recepción de un resultado matemático, 1876-1884". Historia Mathematica . 40 (1): 36-83. doi : 10.1016/j.hm.2012.10.002 . ISSN  0315-0860.

• Ahlfors, Lars (1953), Análisis complejo (3.ª ed.), McGraw Hill (publicado en 1979), ISBN 0-07-000657-1.
• Conway, John B. (1978), Funciones de una variable compleja I (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.

Enlaces externos

• "Teorema de Mittag-Leffler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]