Teorema de Liouville (análisis complejo)

Teorema en análisis complejo

En el análisis complejo , el teorema de Liouville , llamado así por Joseph Liouville (aunque el teorema fue demostrado por primera vez por Cauchy en 1844 ^[1] ), establece que toda función entera acotada debe ser constante . Es decir, toda función holomorfa para la que exista un número positivo tal que para todo sea constante. De manera equivalente, las funciones holomorfas no constantes en tienen imágenes no acotadas. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

El teorema se mejora considerablemente con el pequeño teorema de Picard , que dice que toda función entera cuya imagen omite dos o más números complejos debe ser constante.

Prueba

Este importante teorema tiene varias pruebas.

Una prueba analítica estándar utiliza el hecho de que las funciones holomorfas son analíticas .

Prueba

Si es una función entera, se puede representar mediante su serie de Taylor alrededor de 0: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

donde (por la fórmula integral de Cauchy )

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }$

y es el círculo alrededor de 0 de radio . Supongamos que está acotado: es decir, existe una constante tal que para todo . Podemos estimar directamente ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}$

donde en la segunda desigualdad hemos utilizado el hecho de que en el círculo . (Esta estimación se conoce como estimación de Cauchy .) Pero la elección de en la desigualdad anterior es un número positivo arbitrario. Por lo tanto, dejando que tienda a infinito (dejamos que tienda a infinito ya que es analítica en todo el plano) da para todo . Por lo tanto y esto prueba el teorema. ${\displaystyle |z|=r}$ ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}=0}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle f(z)=a_{0}}$

Otra prueba utiliza la propiedad del valor medio de las funciones armónicas.

Prueba ^[2]

Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Como está acotado, los promedios de este valor sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos y, por lo tanto, asume el mismo valor en cualesquiera dos puntos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La prueba se puede adaptar al caso en que la función armónica esté simplemente acotada por arriba o por abajo. Véase Función armónica#Teorema de Liouville . ${\displaystyle f}$

Corolarios

Teorema fundamental del álgebra

Existe una breve demostración del teorema fundamental del álgebra basada en el teorema de Liouville. ^[3]

Ninguna función entera domina a otra función entera

Una consecuencia del teorema es que funciones enteras "genuinamente diferentes" no pueden dominarse entre sí, es decir, si y son enteras, y en todas partes, entonces para algún número complejo . Considere que para el teorema es trivial, por lo que suponemos . Considere la función . Es suficiente probar que puede extenderse a una función entera, en cuyo caso el resultado se sigue por el teorema de Liouville. La holomorfía de es clara excepto en los puntos en . Pero como está acotada y todos los ceros de están aislados, cualquier singularidad debe ser eliminable. Por lo tanto, puede extenderse a una función acotada entera que, por el teorema de Liouville, implica que es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|\leq |g|}$ ${\displaystyle f=\alpha g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle g\neq 0}$ ${\displaystyle h=f/g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

SiFes menor o igual a un escalar multiplicado por su entrada, entonces es lineal

Supongamos que es entero y , para . Podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy; tenemos que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|}$ ${\displaystyle M>0}$

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}$

donde es el valor de la integral restante. Esto demuestra que es acotada y entera, por lo que debe ser constante, según el teorema de Liouville. Al integrar, se demuestra que es afín y, luego, haciendo referencia a la desigualdad original, tenemos que el término constante es cero. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$

Las funciones elípticas no constantes no se pueden definir en el plano complejo

El teorema también se puede utilizar para deducir que el dominio de una función elíptica no constante no puede ser . Supóngase que lo fuera. Entonces, si y son dos periodos de tal que no es real, considérese el paralelogramo cuyos vértices son 0, , , y . Entonces la imagen de es igual a . Como es continua y es compacta , también es compacta y, por lo tanto, está acotada. Por lo tanto, es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle f}$

El hecho de que el dominio de una función elíptica no constante no puede ser constante es lo que Liouville demostró en 1847, utilizando la teoría de funciones elípticas. ^[4] De hecho, fue Cauchy quien demostró el teorema de Liouville. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Funciones enteras tienen imágenes densas

Si es una función entera no constante, entonces su imagen es densa en . Esto podría parecer un resultado mucho más sólido que el teorema de Liouville, pero en realidad es un corolario fácil. Si la imagen de no es densa, entonces hay un número complejo y un número real tales que el disco abierto centrado en con radio no tiene ningún elemento de la imagen de . Definir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.}$

Entonces es una función entera acotada, ya que para todo , ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.}$

Entonces, es constante, y por lo tanto es constante. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Sobre superficies compactas de Riemann

Cualquier función holomorfa en una superficie de Riemann compacta es necesariamente constante. ^[7]

Sea holomorfo en una superficie compacta de Riemann . Por compacidad, hay un punto en el que alcanza su máximo. Entonces podemos encontrar un gráfico desde un entorno de hasta el disco unitario tal que sea holomorfo en el disco unitario y tenga un máximo en , por lo que es constante, por el principio del módulo máximo . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{0}\in M}$ ${\displaystyle |f(p)|}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f(\varphi ^{-1}(z))}$ ${\displaystyle \varphi (p_{0})\in \mathbb {D} }$

Observaciones

Sea la compactificación de un punto del plano complejo . En lugar de funciones holomorfas definidas en regiones en , se pueden considerar regiones en . Visto de esta manera, la única singularidad posible para funciones enteras, definidas en , es el punto . Si una función entera está acotada en un entorno de , entonces es una singularidad removible de , es decir, no puede explotar ni comportarse erráticamente en . A la luz de la expansión de la serie de potencias , no es sorprendente que el teorema de Liouville sea válido. ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$

De manera similar, si una función entera tiene un polo de orden en —es decir, crece en magnitud de manera comparable a en algún entorno de —entonces es un polinomio. Esta versión extendida del teorema de Liouville se puede expresar con mayor precisión: si para suficientemente grande, entonces es un polinomio de grado como máximo . Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Nuevamente tomemos la representación de la serie de Taylor de , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

El argumento utilizado durante la prueba utilizando estimaciones de Cauchy muestra que para todos , ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq Mr^{n-k}.}$

Entonces, si , entonces ${\displaystyle k>n}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle a_{k}=0}$

El teorema de Liouville no se extiende a las generalizaciones de números complejos conocidos como números dobles y números duales . ^[8]

Véase también

• Teorema de Mittag-Leffler

Referencias

1. Solomentsev, ED; Stepanov, SA; Kvasnikov, IA (2001) [1994], "Teoremas de Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Nelson, Edward (1961). "Una prueba del teorema de Liouville". Actas de la American Mathematical Society . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
3. Benjamin Fine; Gerhard Rosenberger (1997). El teorema fundamental del álgebra. Springer Science & Business Media. págs. 70-71. ISBN 978-0-387-94657-3.
4. Liouville, Joseph (1847), "Leçons sur les fonctions doublement périodiques", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , vol. 88 (publicado en 1879), págs. 277–310, ISSN  0075-4102, archivado desde el original el 11 de julio de 2012
5. Cauchy, Augustin-Louis (1844), "Mémoires sur les fonctions complémentaires", Œuvres complètes d'Augustin Cauchy , 1, vol. 8, París: Gauthiers-Villars (publicado en 1882)
6. Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Maestro de matemáticas puras y aplicadas , Estudios de historia de las matemáticas y las ciencias físicas, vol. 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
7. un curso conciso sobre análisis complejo y superficies de Riemann, Wilhelm Schlag, corolario 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Archivado el 30 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
8. Denhartigh, Kyle; Flim, Rachel (15 de enero de 2017). "Teoremas de Liouville en los planos dual y doble". Revista de matemáticas de pregrado Rose-Hulman . 12 (2).

Enlaces externos

• "Teorema de Liouville". PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de acotación de Liouville". MathWorld .