Estimación de Cauchy

En matemáticas, específicamente en análisis complejo , la estimación de Cauchy proporciona límites locales para las derivadas de una función holomorfa . Estos límites son óptimos.

Enunciado y consecuencia

Sea una función holomorfa sobre la bola abierta en . Si es la suma de sobre , entonces la estimación de Cauchy dice: ^[1] para cada entero , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(a,r)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle B(a,r)}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle |f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}M}$

donde es la derivada compleja n -ésima de ; es decir, y (ver Derivadas de Wirtinger § Relación con la diferenciación compleja ). ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'={\frac {\partial f}{\partial z}}}$ ${\displaystyle f^{(n)}=(f^{(n-1)})^{'}}$

Además, los resultados muestran que la estimación anterior no se puede mejorar. ${\displaystyle f(z)=z^{n},a=0,r=1}$

Como corolario, por ejemplo, obtenemos el teorema de Liouville , que dice que una función entera acotada es constante (de hecho, sea la estimación). De manera un poco más general, si es una función entera acotada por para algunas constantes y algún entero , entonces es un polinomio. ^[2] ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A+B|z|^{k}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle f}$

Prueba

Comenzamos con la fórmula integral de Cauchy aplicada a , que da para con , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z-a|<r'}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

donde . Por la diferenciación bajo el signo integral (en la variable compleja), ^[3] obtenemos: ${\displaystyle r'<r}$

${\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw.}$

De este modo,

${\displaystyle |f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!M}{2\pi }}\int _{|w-a|=r'}{\frac {|dw|}{|w-a|^{n+1}}}={\frac {n!M}{{r'}^{n}}}.}$

Dejar terminar la prueba. ${\displaystyle r'\to r}$ ${\displaystyle \square }$

(La prueba muestra que no es necesario tomar como sup sobre todo el disco abierto, pero debido al principio de maximización , restringir la sup al límite cercano no cambiaría ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Estimación relacionada

He aquí una estimación algo más general pero menos precisa. Dice: ^[4] dado un subconjunto abierto , un subconjunto compacto y un entero , existe una constante tal que para cada función holomorfa en , ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \sup _{K}|f^{(n)}|\leq C\int _{U}|f|\,d\mu }$

¿Dónde está la medida de Lebesgue? ${\displaystyle d\mu }$

Esta estimación se desprende de la fórmula integral de Cauchy (en la forma general) aplicada a donde es una función suave que está en un entorno de y cuyo soporte está contenido en . De hecho, al encoger , supongamos que está acotada y que el límite de es suave por partes. Entonces, dado que , por la fórmula integral, ${\displaystyle u=\psi f}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle =1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \partial u/\partial {\overline {z}}=f\partial \psi /\partial {\overline {z}}}$

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial U}{\frac {u(z)}{w-z}}\,dw+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{U}{\frac {f(w)\partial \psi /\partial {\overline {w}}(w)}{w-z}}\,dw\wedge d{\overline {w}}}$

para en (ya que puede ser un punto, no podemos suponer que está en ). Aquí, el primer término a la derecha es cero ya que el soporte de se encuentra en . Además, el soporte de está contenido en . Por lo tanto, después de la diferenciación bajo el signo integral, se sigue la estimación reclamada. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \partial \psi /\partial {\overline {w}}}$ ${\displaystyle U-K}$

Como aplicación de la estimación anterior, podemos obtener el teorema de Stieltjes-Vitali ^[5] , que dice que una secuencia de funciones holomorfas en un subconjunto abierto que está acotado en cada subconjunto compacto tiene una subsecuencia que converge en cada subconjunto compacto (necesariamente a una función holomorfa ya que el límite satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann). De hecho, la estimación implica que dicha secuencia es equicontinua en cada subconjunto compacto; por lo tanto, el teorema de Ascoli y el argumento diagonal dan una supuesta subsecuencia. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

En varias variables

La estimación de Cauchy también es válida para funciones holomorfas en varias variables. Es decir, para una función holomorfa en un polidisco , tenemos: ^[6] para cada multiíndice , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\prod _{1}^{n}B(a_{j},r_{j})\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial }{\partial z}}^{\alpha }f\right)(a)\right|\leq {\frac {\alpha !}{r^{\alpha }}}\sup _{U}|f|}$

donde , y . ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \alpha !=\prod {\alpha }_{j}!}$ ${\displaystyle r^{\alpha }=\prod r_{j}^{\alpha _{j}}}$

Al igual que en el caso de una variable, esto se deduce de la fórmula integral de Cauchy en polidiscos. § La estimación relacionada y su consecuencia también continúan siendo válidas en varias variables con las mismas pruebas. ^[7]

Véase también

• Teorema de Taylor

Referencias

1. Rudin 1986, Teorema 10.26.
2. Rudin 1986, Cap. 10. Ejercicio 4.
3. Este paso es el Ejercicio 7 del Cap. 10 de Rudin 1986
4. Hörmander 1990, Teorema 1.2.4.
5. Hörmander 1990, Corolario 1.2.6.
6. Hörmander 1990, Teorema 2.2.7.
7. Hörmander 1990, Teorema 2.2.3., Corolario 2.2.5.

• Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables (3.ª ed.), Holanda Septentrional, ISBN 978-1-493-30273-4
• Rudin, Walter (1986). Análisis real y complejo (Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.

Lectura adicional

• https://math.stackexchange.com/questions/114349/how-is-cauchys-estimate-derived/114363