Producto directo

Generalización del producto cartesiano

En matemáticas , a menudo se puede definir un producto directo de objetos ya conocidos, dando lugar a uno nuevo. Esto induce una estructura en el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes a partir de los objetos contribuyentes. De manera más abstracta, se habla del producto en la teoría de categorías , que formaliza estas nociones.

Algunos ejemplos son el producto de conjuntos, grupos (descritos a continuación), anillos y otras estructuras algebraicas . El producto de espacios topológicos es otro ejemplo.

También existe la suma directa : en algunos ámbitos se utiliza indistintamente, mientras que en otros es un concepto diferente.

Ejemplos

• Si lo pensamos como el conjunto de números reales sin más estructura, entonces el producto directo es simplemente el producto cartesiano. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• Si pensamos en el grupo de números reales bajo la suma, entonces el producto directo todavía tiene como conjunto subyacente. La diferencia entre este y el ejemplo anterior es que ahora es un grupo, por lo que también tenemos que decir cómo sumar sus elementos. Esto se hace definiendo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• Si pensamos en el anillo de números reales, entonces el producto directo tiene nuevamente como conjunto subyacente. La estructura del anillo consiste en la adición definida por y la multiplicación definida por ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• Aunque el anillo es un campo , no lo es, porque el elemento distinto de cero no tiene inverso multiplicativo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)}$

De manera similar, podemos hablar del producto directo de un número finito de estructuras algebraicas, por ejemplo, Esto se basa en que el producto directo es asociativo hasta el isomorfismo . Es decir, para cualquier estructura algebraica y del mismo tipo. El producto directo también es conmutativo hasta el isomorfismo, es decir, para cualquier estructura algebraica y del mismo tipo. Incluso podemos hablar del producto directo de infinitas estructuras algebraicas; por ejemplo, podemos tomar el producto directo de un número contable de copias de lo que escribimos como ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

Producto directo de grupos

En teoría de grupos se puede definir el producto directo de dos grupos y denotado por Para los grupos abelianos que se escriben de forma aditiva, también se puede llamar suma directa de dos grupos , denotado por ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ),}$ ${\displaystyle G\times H.}$ ${\displaystyle G\oplus H.}$

Se define de la siguiente manera:

• el conjunto de los elementos del nuevo grupo es el producto cartesiano de los conjuntos de elementos de ese grupo ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• Sobre estos elementos se aplica una operación definida elemento por elemento: $${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

Tenga en cuenta que puede ser lo mismo que ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ).}$

Esta construcción da como resultado un nuevo grupo. Tiene un subgrupo normal isomorfo a (dado por los elementos de la forma ), y uno isomorfo a (que comprende los elementos ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (g,1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (1,h)}$

Lo inverso también es válido. Existe el siguiente teorema de reconocimiento: si un grupo contiene dos subgrupos normales tales que y la intersección de contiene solo la identidad, entonces es isomorfo a Una relajación de estas condiciones, que requiere que solo un subgrupo sea normal, da el producto semidirecto . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle K=GH}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G\times H.}$

Como ejemplo, tomemos como dos copias del grupo único (salvo isomorfismos) de orden 2, digamos Entonces con la operación elemento por elemento. Por ejemplo, y ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle C^{2}:}$ ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.}$ ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

Con un producto directo, obtenemos algunos homomorfismos de grupo naturales de forma gratuita: los mapas de proyección definidos por se denominan funciones de coordenadas . $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$

Además, cada homomorfismo del producto directo está totalmente determinado por sus funciones componentes. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f.}$

Para cualquier grupo y cualquier entero, la aplicación repetida del producto directo da el grupo de todas las - tuplas (porque este es el grupo trivial ), por ejemplo y ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Producto directo de módulos

El producto directo de módulos (que no debe confundirse con el producto tensorial ) es muy similar al definido para grupos anteriormente, utilizando el producto cartesiano con la operación de adición componente por componente y la multiplicación escalar simplemente distribuyéndola sobre todos los componentes. A partir de obtenemos el espacio euclidiano, el ejemplo prototípico de un espacio vectorial de dimensión real. El producto directo de y es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

Nótese que un producto directo para un índice finito es canónicamente isomorfo a la suma directa La suma directa y el producto directo no son isomorfos para índices infinitos, donde los elementos de una suma directa son cero para todos excepto para un número finito de entradas. Son duales en el sentido de la teoría de categorías : la suma directa es el coproducto , mientras que el producto directo es el producto. ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Por ejemplo, considere y el producto directo infinito y la suma directa de los números reales. Solo las sucesiones con un número finito de elementos distintos de cero están en Por ejemplo, está en pero no está. Ambas sucesiones están en el producto directo de hecho, es un subconjunto propio de (es decir, ). ^{[1] [2]} ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$

Producto directo del espacio topológico

El producto directo para una colección de espacios topológicos para un conjunto de índices, una vez más hace uso del producto cartesiano. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

Definir la topología es un poco complicado. Para un número finito de factores, lo obvio y natural es hacer lo siguiente: simplemente tomar como base de los conjuntos abiertos la colección de todos los productos cartesianos de los subconjuntos abiertos de cada factor: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.}$$

Esta topología se denomina topología producto . Por ejemplo, definiendo directamente la topología producto de por los conjuntos abiertos de (uniones disjuntas de intervalos abiertos), la base de esta topología consistiría en todas las uniones disjuntas de rectángulos abiertos en el plano (como resulta, coincide con la topología métrica habitual ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La topología del producto para productos infinitos tiene un giro, y tiene que ver con poder hacer que todos los mapas de proyección sean continuos y hacer que todas las funciones en el producto sean continuas si y solo si todas sus funciones componentes son continuas (es decir, para satisfacer la definición categórica de producto: los morfismos aquí son funciones continuas): tomamos como base de conjuntos abiertos la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor, como antes, con la condición de que todos, excepto un número finito de los subconjuntos abiertos, sean el factor entero: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}$$

La topología que suena más natural sería, en este caso, tomar productos de infinitos subconjuntos abiertos como antes, y esto produce una topología algo interesante, la topología de caja . Sin embargo, no es demasiado difícil encontrar un ejemplo de un conjunto de funciones componentes continuas cuya función producto no sea continua (véase la entrada independiente topología de caja para un ejemplo y más). El problema que hace necesaria la torsión se origina en última instancia en el hecho de que la intersección de conjuntos abiertos solo está garantizada como abierta para un número finito de conjuntos en la definición de topología.

Los productos (con la topología de producto) son buenos en lo que respecta a la conservación de las propiedades de sus factores; por ejemplo, el producto de espacios de Hausdorff es Hausdorff; el producto de espacios conexos es conexo, y el producto de espacios compactos es compacto. Este último, llamado teorema de Tichonoff , es otra equivalencia más del axioma de elección .

Para conocer más propiedades y formulaciones equivalentes, consulte la entrada separada topología del producto .

Producto directo de relaciones binarias

En el producto cartesiano de dos conjuntos con relaciones binarias definidas como Si ambos son reflexivos , irreflexivos , transitivos , simétricos o antisimétricos , entonces serán también. ^[3] De manera similar, la totalidad de se hereda de Combinando propiedades se deduce que esto también se aplica para ser un preorden y ser una relación de equivalencia . Sin embargo, si son relaciones conexas , no necesitan estar conexas; por ejemplo, el producto directo de sobre consigo mismo no se relaciona ${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$ ${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$ ${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (1,2){\text{ and }}(2,1).}$

Producto directo en álgebra universal

Si es una firma fija , es un conjunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) y es una familia indexada de álgebras, el producto directo es un álgebra definida de la siguiente manera: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• El conjunto universal de es el producto cartesiano de los conjuntos universales de formalmente: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$ ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Para cada símbolo de operación -ario su interpretación se define componente por componente, formalmente: para todos y cada uno el componente de se define como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

Para cada proyección th se define por Es un homomorfismo sobreyectivo entre las álgebras ^[4] ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i).}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.}$

Como caso especial, si se obtiene el conjunto índice del producto directo de dos álgebras , escrito como Si solo contiene una operación binaria se obtiene la definición anterior del producto directo de grupos, utilizando la notación De manera similar, aquí se incluye la definición del producto directo de módulos. ${\displaystyle I=\{1,2\},}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .}$

Producto categórico

El producto directo puede abstraerse a una categoría arbitraria . En una categoría, dada una colección de objetos indexados por un conjunto , un producto de estos objetos es un objeto junto con morfismos para todos , tal que si es cualquier otro objeto con morfismos para todos , existe un morfismo único cuya composición con es igual para cada . Tales y no siempre existen. Si existen, entonces es único hasta el isomorfismo, y se denota . ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{i}\colon B\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B\to A}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (A,(p_{i})_{i\in I})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$

En el caso especial de la categoría de grupos, siempre existe un producto: el conjunto subyacente de es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de , la operación de grupo es la multiplicación por componentes y el (homo)morfismo es la proyección que envía cada tupla a su coordenada n. ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Producto directo interno y externo

Algunos autores distinguen entre un producto directo interno y un producto directo externo. Por ejemplo, si y son subgrupos de un grupo abeliano aditivo , tales que y , entonces y decimos que es el producto directo interno de y . Para evitar ambigüedades, podemos referirnos al conjunto como el producto directo externo de y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A+B=G}$ ${\displaystyle A\cap B=\{0\}}$ ${\displaystyle A\times B\cong G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Véase también

• Suma directa  : Operación de álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"
• Producto cartesiano  – Conjunto matemático formado a partir de dos conjuntos dados
• Coproducto  – Construcción de teoría de categorías
• Producto gratuito  – Operación que combina grupos
• Producto semidirecto  – Operación en teoría de grupos
• Producto Zappa–Szep  – Concepto matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Producto tensorial de grafos  – Operación en teoría de grafos
• Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados  – Orden cuyos elementos son todos comparables

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Producto directo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de febrero de 2018 .
2. Weisstein, Eric W. "Producto directo de grupo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de febrero de 2018 .
3. "Equivalencia y orden" (PDF) .
4. Stanley N. Burris y HP Sankappanavar, 1981. Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Aquí: Def. 7.8, pág. 53 (pág. 67 en PDF) 

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556