Producto semidirecto

Operación en teoría de grupos.

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el concepto de producto semidirecto es una generalización de un producto directo . Hay dos conceptos estrechamente relacionados de producto semidirecto:

• un producto semidirecto interno es una forma particular en la que un grupo puede estar formado por dos subgrupos , uno de los cuales es un subgrupo normal .
• un producto semidirecto externo es una forma de construir un nuevo grupo a partir de dos grupos dados utilizando el producto cartesiano como un conjunto y una operación de multiplicación particular.

Al igual que con los productos directos, existe una equivalencia natural entre los productos semidirectos internos y externos, y comúnmente se hace referencia a ambos simplemente como productos semidirectos .

Para grupos finitos , el teorema de Schur-Zassenhaus proporciona una condición suficiente para la existencia de una descomposición como producto semidirecto (también conocida como extensión de división ).

Definiciones de productos semidirectos internos

Dado un grupo G con elemento de identidad e , un subgrupo H y un subgrupo normal N ◁ G , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G es el producto de subgrupos , G = NH , y estos subgrupos tienen una intersección trivial: N ∩ H = { e } .
• Para cada g ∈ G , existen únicos n ∈ N y h ∈ H tales que g = nh .
• La composición π ∘ i de la incrustación natural i : H → G con la proyección natural π : G → G / N es un isomorfismo entre H y el grupo cociente G / N .
• Existe un homomorfismo G → H que es la identidad en H y cuyo núcleo es N . En otras palabras, hay una secuencia exacta dividida.

${\displaystyle 1\to N\to G\to H\to 1}$

de grupos (que también se conoce como extensión de grupo de by ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

Si cualquiera de estas afirmaciones se cumple (y por lo tanto todas se cumplen, por su equivalencia), decimos que G es el producto semidirecto de N y H , escrito

${\displaystyle G=N\rtimes H}$o ${\displaystyle G=H\ltimes N,}$

o que G se divide sobre N ; También se dice que G es un producto semidirecto de H que actúa sobre N , o incluso un producto semidirecto de H y N. Para evitar ambigüedades, es recomendable especificar cuál es el subgrupo normal.

Si , entonces hay un homomorfismo de grupo dado por y para , tenemos . ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle \varphi \colon H\rightarrow \mathrm {Aut} (N)}$ ${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$ ${\displaystyle g=nh,g'=n'h'}$ ${\displaystyle gg'=nhn'h'=nhn'h^{-1}hh'=n\varphi _{h}(n')hh'=n^{*}h^{*}}$

Productos semidirectos interiores y exteriores.

Consideremos primero el producto semidirecto interno. En este caso, para un grupo , considere su subgrupo normal N y el subgrupo H (no necesariamente normales). Supongamos que se cumplen las condiciones de la lista anterior. Denotemos el grupo de todos los automorfismos de N , que es un grupo bajo composición. Construya un homomorfismo de grupo definido por conjugación, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (N)}$ ${\displaystyle \varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$, para todo h en H y n en N .

De esta manera podemos construir un grupo con operación de grupo definida como ${\displaystyle G'=(N,H)}$

${\displaystyle (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})}$para n ₁ , n ₂ en N y h ₁ , h ₂ en H .

Los subgrupos N y H determinan G hasta el isomorfismo, como mostraremos más adelante. De esta forma, podemos construir el grupo G a partir de sus subgrupos. Este tipo de construcción se denomina producto semidirecto interno (también conocido como producto semidirecto interno ^[1] ).

Consideremos ahora el producto semidirecto exterior. Dados dos grupos cualesquiera N y H y un homomorfismo de grupo φ : H → Aut( N ) , podemos construir un nuevo grupo N ⋊ _φ H , llamado producto semidirecto externo de N y H con respecto a φ , definido de la siguiente manera: ^{[ 2]}

• El conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H.
• La operación de grupo está determinada por el homomorfismo φ : ${\displaystyle \bullet }$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}}$

  para n ₁ , n ₂ en N y h ₁ , h ₂ en H .

Esto define un grupo en el que el elemento identidad es ( e _N , e _H ) y el inverso del elemento ( n , h ) es ( φ _{h ⁻¹} ( n ⁻¹ ), h ⁻¹ ) . Los pares ( n , e _H ) forman un subgrupo normal isomorfo a N , mientras que los pares ( e _N , h ) forman un subgrupo isomorfo a H. El grupo completo es un producto semidirecto de esos dos subgrupos en el sentido dado anteriormente.

Por el contrario, supongamos que se nos da un grupo G con un subgrupo normal N y un subgrupo H , de modo que cada elemento g de G puede escribirse de forma única en la forma g = nh donde n está en N y h está en H. Sea φ : H → Aut( N ) el homomorfismo (escrito φ ( h ) = φ _h ) dado por

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$

para todo norte ∈ norte , h ∈ H .

Entonces G es isomorfo al producto semidirecto N ⋊ _φ H . El isomorfismo λ : G → N ⋊ _φ H está bien definido por λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h ) debido a la unicidad de la descomposición a = nh .

En G tenemos

${\displaystyle (n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})}$

Así, para a = n ₁ h ₁ y b = n ₂ h ₂ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}}$

lo que demuestra que λ es un homomorfismo. Dado que λ es obviamente un epimorfismo y un monomorfismo, entonces de hecho es un isomorfismo. Esto también explica la definición de la regla de multiplicación en N ⋊ _φ H .

El producto directo es un caso especial del producto semidirecto. Para ver esto, sea φ el homomorfismo trivial (es decir, enviar cada elemento de H al automorfismo identidad de N ) , entonces N ⋊ _φ H es el producto directo N × H.

Una versión del lema de división para grupos establece que un grupo G es isomorfo a un producto semidirecto de los dos grupos N y H si y sólo si existe una secuencia exacta corta

${\displaystyle 1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1}$

y un homomorfismo de grupo γ : H → G tal que α  ∘  γ = id _H , el mapa de identidad en H . En este caso, φ : H → Aut( N ) viene dado por φ ( h ) = φ _h , donde

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).}$

Ejemplos

grupo diédrico

El grupo diédrico D _{2 n} con 2 n elementos es isomorfo a un producto semidirecto de los grupos cíclicos C _n y C ₂ . ^[3] Aquí, el elemento no-identitario de C ₂ actúa sobre C _n invirtiendo elementos; este es un automorfismo ya que C _n es abeliano . La presentación de este grupo es:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

Grupos cíclicos

De manera más general, un producto semidirecto de dos grupos cíclicos cualesquiera C _m con generador a y C _n con generador b viene dado por una relación adicional, aba ⁻¹ = b ^k , con k y n coprimos , y ; ^[3] es decir, la presentación: ^[3] ${\displaystyle k^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .}$

Si r y m son coprimos, a ^r es un generador de C _m y a ^r ba ^−r = b ^{k r} , de ahí la presentación:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle }$

da un grupo isomorfo al anterior.

Holomorfo de un grupo

Un ejemplo canónico de un grupo expresado como producto semidirecto es el holomorfo de un grupo. Esto se define como

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

donde está el grupo de automorfismo de un grupo y el mapa de estructura proviene de la acción correcta de on . En términos de multiplicar elementos, esto le da estructura al grupo. ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).}$

Grupo fundamental de la botella de Klein.

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede presentar en la forma

${\displaystyle \langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

y por tanto es un producto semidirecto del grupo de números enteros, , con . El homomorfismo correspondiente φ : → Aut( ) viene dado por φ ( h )( n ) = (−1) ^h n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Matrices triangulares superiores

El grupo de matrices triangulares superiores con determinante distinto de cero en un campo arbitrario, es decir, con entradas distintas de cero en la diagonal , tiene una descomposición en el producto semidirecto ^[4] donde es el subgrupo de matrices con solo 's en la diagonal , que se denomina grupo de matrices unitarias triangulares superiores , y es el subgrupo de matrices diagonales . La acción grupal de on se induce mediante la multiplicación de matrices. si establecemos ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$
${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$y ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

entonces su producto matricial es

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Esto le da al grupo la acción inducida. ${\displaystyle m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Una matriz en puede representarse mediante matrices en y . Por eso . ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$

Grupo de isometrías en el avión.

El grupo euclidiano de todos los movimientos rígidos ( isometrías ) del plano (mapea f : ² → ² ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tal que la distancia euclidiana entre xey es igual a la distancia entre f ( x ) y f ( y ) para todo x e y en ) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo abeliano (que describe traslaciones) y el grupo O(2) de matrices ortogonales 2 × 2 (que describe rotaciones y reflexiones que mantienen fijo el origen). Aplicar una traslación y luego una rotación o reflexión tiene el mismo efecto que aplicar primero la rotación o reflexión y luego una traslación por el vector de traslación rotado o reflejado (es decir, aplicar el conjugado de la traslación original). Esto muestra que el grupo de traslaciones es un subgrupo normal del grupo euclidiano, que el grupo euclidiano es un producto semidirecto del grupo de traslaciones y O(2) , y que el homomorfismo correspondiente φ : O(2) → Aut( ² ) viene dado por la multiplicación de matrices : φ ( h )( n ) = hn . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Grupo ortogonal O (n)

El grupo ortogonal O( n ) de todas las matrices ortogonales reales n × n (intuitivamente el conjunto de todas las rotaciones y reflexiones del espacio n -dimensional que mantienen fijo el origen) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo SO( n ) (que consiste de todas las matrices ortogonales con determinante 1 , intuitivamente las rotaciones del espacio n -dimensional) y C ₂ . Si representamos C ₂ como el grupo multiplicativo de matrices { I , R } , donde R es un reflejo del espacio n -dimensional que mantiene fijo el origen (es decir, una matriz ortogonal con determinante –1 que representa una involución ), entonces φ : C ₂ → Aut(SO( n )) está dado por φ ( H )( N ) = HNH ⁻¹ para todo H en C ₂ y N en SO( n ) . En el caso no trivial ( H no es la identidad), esto significa que φ ( H ) es la conjugación de operaciones por reflexión (en el espacio tridimensional, un eje de rotación y la dirección de rotación se reemplazan por su "imagen especular") .

Transformaciones semilineales

El grupo de transformaciones semilineales en un espacio vectorial V sobre un campo , a menudo denotado ΓL( V ) , es isomorfo a un producto semidirecto del grupo lineal GL( V ) (un subgrupo normal de ΓL( V ) ), y el grupo de automorfismos de . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Grupos cristalográficos

En cristalografía , el grupo espacial de un cristal se divide como producto semidirecto del grupo puntual y el grupo de traslación si y sólo si el grupo espacial es simórfico. Los grupos espaciales no simórficos tienen grupos de puntos que ni siquiera están contenidos como subconjunto del grupo espacial, lo que es responsable de gran parte de la complicación en su análisis. ^[5]

No ejemplos

Por supuesto, ningún grupo simple puede expresarse como un producto semidirecto (porque no tienen subgrupos normales no triviales), pero hay algunos contraejemplos comunes de grupos que contienen un subgrupo normal no trivial que, sin embargo, no pueden expresarse como un producto semidirecto. -producto directo. Tenga en cuenta que, aunque no todos los grupos pueden expresarse como una extensión dividida de by , resulta que dicho grupo puede incluirse en el producto de la corona mediante el teorema de incrustación universal . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\wr H}$

Z 4

El grupo cíclico no es un grupo simple ya que tiene un subgrupo de orden 2, es decir, es un subgrupo y su cociente es , por lo que hay una extensión. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

Si la extensión se dividió , entonces el grupo en ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

sería isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$

Pregunta 8

El grupo de los ocho cuaterniones donde y , es otro ejemplo de un grupo ^[6] que tiene subgrupos normales no triviales pero aún no está dividido. Por ejemplo, el subgrupo generado por es isomorfo y es normal. También tiene un subgrupo de orden generado por . Esto significaría que tendría que haber una extensión dividida en la siguiente secuencia hipotética exacta de grupos: ${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$ ${\displaystyle ijk=-1}$ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Q_{8}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$,

pero una secuencia tan exacta no existe. Esto se puede demostrar calculando el primer grupo de cohomología con coeficientes en , y observando que los dos grupos en estas extensiones son y el grupo diédrico . Pero, como ninguno de estos grupos es isomorfo con , el grupo del cuaternión no está dividido. Esta no existencia de isomorfismos se puede verificar observando que la extensión trivial es abeliana mientras que no es abeliana, y observando que los únicos subgrupos normales son y , pero tiene tres subgrupos isomorfos a . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle D_{8}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

Propiedades

Si G es el producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H , y tanto N como H son finitos, entonces el orden de G es igual al producto de los órdenes de N y H. Esto se desprende del hecho de que G es del mismo orden que el producto semidirecto externo de N y H , cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H.

Relación con productos directos

Supongamos que G es un producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H. Si H también es normal en G , o de manera equivalente, si existe un homomorfismo G → N que es la identidad en N con el kernel H , entonces G es el producto directo de N y H.

El producto directo de dos grupos N y H puede considerarse como el producto semidirecto de N y H con respecto a φ ( h ) = id _N para todo h en H.

Tenga en cuenta que en un producto directo, el orden de los factores no es importante, ya que N × H es isomorfo a H × N. Este no es el caso de los productos semidirectos, ya que los dos factores desempeñan papeles diferentes.

Además, el resultado de un producto semidirecto (adecuado) mediante un homomorfismo no trivial nunca es un grupo abeliano , incluso si los grupos de factores son abelianos.

No unicidad de productos semidirectos (y más ejemplos)

A diferencia del caso del producto directo , un producto semidirecto de dos grupos no es, en general, único; Si G y G′ son dos grupos que contienen copias isomorfas de N como subgrupo normal y H como subgrupo, y ambos son un producto semidirecto de N y H , entonces no se sigue que G y G′ sean isomorfos porque El producto semidirecto también depende de la elección de una acción de H sobre N.

Por ejemplo, hay cuatro grupos no isomorfos de orden 16 que son productos semidirectos de C ₈ y C ₂ ; en este caso, C ₈ es necesariamente un subgrupo normal porque tiene índice 2. Uno de estos cuatro productos semidirectos es el producto directo, mientras que los otros tres son grupos no abelianos:

• el grupo diédrico de orden 16
• el grupo cuasidiédrico de orden 16
• el grupo Iwasawa de orden 16

Si un grupo dado es un producto semidirecto, entonces no hay garantía de que esta descomposición sea única. Por ejemplo, existe un grupo de orden 24 (el único que contiene seis elementos de orden 4 y seis elementos de orden 6) que se puede expresar como producto semidirecto de las siguientes maneras: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≅ (C ₂ ⋉ Q 12 ) ≅ (C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≅ (D ₆ ⋉ V ) . ^[7]

Existencia

En general, no existe una caracterización conocida (es decir, una condición necesaria y suficiente) para la existencia de productos semidirectos en grupos. Sin embargo, se conocen algunas condiciones suficientes que garantizan su existencia en determinados casos. Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de un producto semidirecto cuando el orden del subgrupo normal es coprimo del orden del grupo cociente .

Por ejemplo, el teorema de Schur-Zassenhaus implica la existencia de un producto semidirecto entre grupos de orden 6; existen dos productos de este tipo, uno de los cuales es un producto directo y el otro un grupo diédrico. Por el contrario, el teorema de Schur-Zassenhaus no dice nada sobre grupos de orden 4 o grupos de orden 8, por ejemplo.

Generalizaciones

Dentro de la teoría de grupos, la construcción de productos semidirectos puede llevarse mucho más lejos. El producto Zappa-Szép de grupos es una generalización que, en su versión interna, no supone que ninguno de los subgrupos sea normal.

También existe una construcción en la teoría de anillos , el producto cruzado de anillos . Éste se construye de forma natural a partir del anillo de grupo para un producto semidirecto de grupos. El enfoque de la teoría de anillos se puede generalizar aún más a la suma semidirecta de álgebras de Lie .

Para la geometría, también existe un producto cruzado para acciones grupales en un espacio topológico ; desafortunadamente, en general no es conmutativo incluso si el grupo es abeliano. En este contexto, el producto semidirecto es el espacio de órbitas del grupo de acción. Este último enfoque ha sido defendido por Alain Connes como sustituto de los enfoques mediante técnicas topológicas convencionales; cf geometría no conmutativa .

El producto semidirecto es un caso especial de la construcción de Grothendieck en la teoría de categorías . Específicamente, una acción de on (respetando el grupo, o incluso simplemente la estructura monoide) es lo mismo que un functor ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle F:BH\to Cat}$

desde el grupoide asociado a H (que tiene un solo objeto *, cuyos endomorfismos son H ) hasta la categoría de categorías tales que el objeto único en se asigna a . La construcción de Grothendieck de este funtor es equivalente a , el (grupoide asociado a) producto semidirecto. ^[8] ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle BN}$ ${\displaystyle B(H\rtimes N)}$

grupoides

Otra generalización es para los grupoides. Esto ocurre en topología porque si un grupo G actúa sobre un espacio X también actúa sobre el grupoide fundamental π ₁ ( X ) del espacio. El producto semidirecto π ₁ ( X ) ⋊ G es entonces relevante para encontrar el grupoide fundamental del espacio orbital X/G . Para obtener detalles completos, consulte el Capítulo 11 del libro al que se hace referencia a continuación, y también algunos detalles en el producto semidirecto ^[9] en ncatlab .

Categorías abelianas

Los productos semidirectos no triviales no surgen en categorías abelianas , como la categoría de módulos . En este caso, el lema de división muestra que todo producto semidirecto es un producto directo. Así, la existencia de productos semidirectos refleja el fracaso de la categoría en ser abeliana.

Notación

Por lo general , el producto semidirecto de un grupo H que actúa sobre un grupo N (en la mayoría de los casos por conjugación como subgrupos de un grupo común) se denota por N ⋊ H o H ⋉ N. Sin embargo, algunas fuentes ^[10] pueden utilizar este símbolo con el significado opuesto. En caso de que la acción φ : H → Aut( N ) deba hacerse explícita, también se escribe N ⋊ _φ H . Una forma de pensar en el símbolo N ⋊ H es como una combinación del símbolo del subgrupo normal ( ◁ ) y el símbolo del producto ( × ). Barry Simon , en su libro sobre teoría de la representación de grupos, ^[11] emplea la notación inusual para el producto semidirecto. ${\displaystyle N\mathbin {\circledS _{\varphi }} H}$

Unicode enumera cuatro variantes: ^[12]

Aquí la descripción Unicode del símbolo rtimes dice "factor normal correcto", en contraste con su significado habitual en la práctica matemática.

En LaTeX , los comandos \rtimes y \ltimes producen los caracteres correspondientes. Con el paquete de símbolos AMS cargado, \lefttrestimes produce ⋋ y \righttrestimes produce ⋌.

Ver también

• Álgebra de mentira afín
• Construcción de Grothendieck , una construcción categórica que generaliza el producto semidirecto
• holomorfo
• Suma semidirecta de álgebra de mentira
• Producto subdirecto
• Producto de corona
• Producto Zappa–Szép
• producto cruzado

Notas

1. DS Dummit y RM Foote (1991), Álgebra abstracta , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall , 142.
2. Robinson, Derek John Scott (2003). Introducción al álgebra abstracta . Walter de Gruyter . págs. 75–76. ISBN 9783110175448.
3. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Álgebra (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.
4. Milne. Grupos algebraicos (PDF) . págs. 45, productos semidirectos. Archivado (PDF) desde el original el 7 de marzo de 2016.
5. Thompson, Nick. "Zonas irreductibles de Brillouin y estructuras de bandas". bandgap.io . Consultado el 13 de diciembre de 2017 .
6. "álgebra abstracta: ¿se puede escribir todo grupo $ G $ no simple como un producto semidirecto?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 29 de octubre de 2020 .
7. SE Rose (2009). Un curso sobre grupos finitos . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 183.ISBN​ 978-1-84882-889-6.Tenga en cuenta que Rose utiliza la convención de notación opuesta a la adoptada en esta página (p. 152).
8. Barr y Wells (2012, §12.2)
9. "Ncatlab.org".
10. por ejemplo, EB Vinberg (2003). Un curso de álgebra . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 389.ISBN​ 0-8218-3413-4.
11. B. Simón (1996). Representaciones de Grupos Finitos y Compactos . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 6.ISBN​ 0-8218-0453-7.
12. Ver unicode.org

Referencias

• Barr, Michael; Wells, Charles (2012), Teoría de categorías para la informática , Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías, vol. 2012, pág. 558, Zbl  1253.18001
• Brown, R. (2006), Topología y grupoides , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8