El teorema de incrustación universal , o teorema de incrustación universal de Krasner-Kaloujnine , es un teorema de la disciplina matemática de la teoría de grupos publicado por primera vez en 1951 por Marc Krasner y Lev Kaluznin . [1] El teorema establece que cualquier extensión de grupo de un grupo H por un grupo A es isomorfa a un subgrupo del producto corona regular A Wr H. El teorema recibe su nombre por el hecho de que se dice que el grupo A Wr H es universal con respecto a todas las extensiones de H por A.
Declaración
Sean H y A grupos, sea K = A H el conjunto de todas las funciones desde H hasta A , y considere la acción de H sobre sí mismo mediante multiplicación correcta. Esta acción se extiende naturalmente a una acción de H sobre K definida por dónde y g y h están ambos en H. Este es un automorfismo de K , por lo que podemos definir el producto semidirecto K ⋊ H llamado producto corona regular , y denotado A Wr H o El grupo K = A H (que es isomorfo a ) se llama grupo base del producto corona .![{\displaystyle \phi (g).h=\phi (gh^{-1}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi \en K,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\wr H.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{(f_{x},1)\in A\wr H:x\in K\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El teorema de incrustación universal de Krasner-Kaloujnine establece que si G tiene un subgrupo normal A y H = G / A , entonces existe un homomorfismo inyectivo de grupos tal que A se asigna sobreyectivamente a [2]. Esto es equivalente al producto de la corona A Wr H tener un subgrupo isomorfo a G , donde G es cualquier extensión de H por A .![{\displaystyle \theta :G\to A\wr H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{im}}(\theta )\cap K.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Esta prueba proviene de Dixon-Mortimer. [3]
Defina un homomorfismo cuyo núcleo sea A . Elija un conjunto de clases laterales (derechas) representativas de A en G , donde Entonces para todo x en G , Para cada x en G , definimos una función f x : H → A tal que Entonces la incrustación está dada por![{\displaystyle \psi:G\a H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=\{t_{u}:u\en H\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}\in \ker \psi =A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{x}(u)=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta (x)=(f_{x},\psi (x))\in A\wr H.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora demostramos que se trata de un homomorfismo. Si x e y están en G , entonces lo mismo ocurre con todos los u en H ,![{\displaystyle \theta (x)\theta (y)=(f_{x}(f_{y}.\psi (x)^{-1}),\psi (xy)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{y}(u).\psi (x)^{-1}=f_{y}(u\psi (x)),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{x}(u)(f_{y}(u).\psi (x))=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}t_{u\psi ( x)}yt_{u\psi (x)\psi (y)}^{-1}=t_{u}xyt_{u\psi (xy)}^{-1},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces f x f y = f xy . Por tanto, se requiere un homomorfismo. ![{\displaystyle \theta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El homomorfismo es inyectivo. Si entonces ambos f x ( u ) = f y ( u ) (para todo u ) y Entonces pero podemos cancelar t u y de ambos lados, entonces x = y , por lo tanto es inyectivo. Finalmente, precisamente cuando, en otras palabras, cuando (como ).![{\displaystyle \theta (x)=\theta (y),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (y).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u}yt_{u\psi (y)}^{-1},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u\psi (y)}^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta (x)\en K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi (x)=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=\ker \psi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalizaciones y resultados relacionados.
- El teorema de Krohn-Rhodes es un enunciado similar al teorema de incrustación universal, pero para semigrupos . Un semigrupo S es divisor de un semigrupo T si es la imagen de un subsemigrupo de T bajo un homomorfismo. El teorema establece que cada semigrupo finito S es un divisor de un producto finito de corona alterna de grupos finitos simples (cada uno de los cuales es un divisor de S ) y semigrupos aperiódicos finitos .
- Existe una versión alternativa del teorema que requiere sólo un grupo G y un subgrupo A (no necesariamente normal). [4] En este caso, G es isomorfo a un subgrupo del producto de corona regular A Wr ( G /Core( A )).
Referencias
- ^ Kaloujnine y Krasner (1951a).
- ^ Dixon y Mortimer (1996, pág. 47).
- ^ Dixon y Mortimer (1996, págs. 47–48).
- ^ Kaloujnine y Krasner (1951b).
Bibliografía
- Dixon, Juan; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutación . Saltador. ISBN 978-0387945996.
- Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951a). "Producto completo de grupos de permutaciones y el problema de extensión de grupos II". Acta de ciencia. Matemáticas. Szeged . 14 : 39–66.
- Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951b). "Producto completo de grupos de permutaciones y el problema de extensión de grupos III". Acta de ciencia. Matemáticas. Szeged . 14 : 69–82.
- Praeger, Cheryl; Schneider, Csaba (2018). Grupos de permutación y Descomposiciones Cartesianas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521675062.