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Producto Zappa–Szép

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el producto Zappa-Szép (también conocido como producto Zappa-Rédei-Szép , producto general , producto tejido , factorización exacta o producto bicruzado ) describe una forma en la que un grupo puede construirse a partir de dos subgrupos . Es una generalización de los productos directo y semidirecto . Lleva el nombre de Guido Zappa (1940) y Jenő Szép (1950), aunque fue estudiado de forma independiente por otros, incluidos BH Neumann (1935), GA Miller (1935) y JA de Séguier (1904). [1]

Productos internos de Zappa – Szép

Sea G un grupo con elemento de identidad e , y sean H y K subgrupos de G. Las siguientes declaraciones son equivalentes:

Si cualquiera de estas afirmaciones (y por tanto ambas) se cumple, entonces se dice que G es un producto interno de Zappa -Szép de H y K.

Ejemplos

Sea G = GL( n , C ), el grupo lineal general de matrices invertibles n × n sobre números complejos . Para cada matriz A en G , la descomposición QR afirma que existe una matriz unitaria Q única y una matriz triangular superior única R con entradas reales positivas en la diagonal principal tal que A = QR . Por tanto, G es un producto de Zappa-Szép del grupo unitario U ( n ) y el grupo (digamos) K ​​de matrices triangulares superiores con entradas diagonales positivas.

Uno de los ejemplos más importantes de esto es el teorema de Philip Hall de 1937 sobre la existencia de sistemas de Sylow para grupos solubles . Esto muestra que cada grupo soluble es un producto Zappa-Szép de un subgrupo Hall p' y un subgrupo Sylow p , y de hecho, que el grupo es un producto Zappa-Szép (factor múltiple) de un cierto conjunto de representantes de su grupo. Subgrupos de Sylow.

En 1935, George Miller demostró que cualquier grupo de permutación transitiva no regular con un subgrupo regular es un producto de Zappa-Szép del subgrupo regular y un estabilizador puntual. Da como ejemplos PSL(2,11) y el grupo alterno de grado 5 y, por supuesto, cada grupo alterno de grado primo es un ejemplo. Este mismo artículo ofrece una serie de ejemplos de grupos que no pueden realizarse como productos Zappa-Szép de subgrupos adecuados, como el grupo cuaternión y el grupo alterno de grado 6.

Productos externos de Zappa – Szép

Al igual que con los productos directo y semidirecto, existe una versión externa del producto Zappa-Szép para grupos de los que a priori no se sabe que sean subgrupos de un grupo determinado. Para motivar esto, sea G = HK un producto interno de Zappa-Szép de los subgrupos H y K del grupo G. Para cada k en K y cada h en H , existen α( k , h ) en H y β( k , h ) en K tales que kh = α( k , h ) β( k , h ). Esto define asignaciones α : K × H → H y β : K × H → K que resultan tener las siguientes propiedades:

para todos h 1 , h 2 en H , k 1 , k 2 en K . De estos se deduce que

(De hecho, supongamos que α( k , h 1 ) = α( k , h 2 ). Entonces h 1 = α( k −1 k , h 1 ) = α( k −1 , α( k ,  h 1 )) = α( k −1 , α( k ,  h 2 )) = h 2 . Esto establece la inyectividad, y para la sobreyectividad, use h = α( k , α( k −1 ,  h )).)

De manera más concisa, las primeras tres propiedades anteriores afirman que la aplicación α : K × H → H es una acción izquierda de K sobre (el conjunto subyacente de) H y que β : K × H → K es una acción derecha de H sobre (el conjunto subyacente de) K . Si denotamos la acción izquierda por h → k h y la acción derecha por k → k h , entonces las dos últimas propiedades ascienden a k ( h 1 h 2 ) = k h 1 k h 1 h 2 y ( k 1 k 2 ) h = k 1 k 2 h k 2 h .

Invirtiendo esto, supongamos que H y K son grupos (y sea e el elemento de identidad de cada grupo) y supongamos que existen asignaciones α : K × H → H y β : K × H → K que satisfacen las propiedades anteriores. En el producto cartesiano H × K , defina una aplicación de multiplicación y de inversión por, respectivamente,

Entonces H × K es un grupo llamado producto externo de Zappa-Szép de los grupos H y K. Los subconjuntos H × { e } y { e } × K son subgrupos isomorfos a H y K , respectivamente, y H × K es, de hecho, un producto interno de Zappa-Szép de H × { e } y { e } × K .

Relación con productos semidirectos y directos

Sea G = HK un producto interno de Zappa-Szép de los subgrupos H y K. Si H es normal en G , entonces las asignaciones α y β están dadas por, respectivamente, α( k , h ) = khk − 1 y β( k , h ) = k . Esto es fácil de ver porque y desde la normalidad de , . En este caso, G es un producto interno semidirecto de H y K.

Si, además, K es normal en G , entonces α( k , h ) = h . En este caso, G es un producto directo interno de H y K.

Referencias

  1. ^ Martín W. Liebeck ; Cheryl E. Praeger; Jan Saxl (2010). Subgrupos regulares de grupos de permutaciones primitivas . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4.