En matemáticas , la altura de un elemento g de un grupo abeliano A es un invariante que captura sus propiedades de divisibilidad: es el mayor número natural N tal que la ecuación Nx = g tiene una solución x ∈ A , o el símbolo ∞ si no existe tal N. La p -altura considera solo propiedades de divisibilidad por las potencias de un número primo fijo p . La noción de altura admite un refinamiento de modo que la p -altura se convierte en un número ordinal . La altura juega un papel importante en los teoremas de Prüfer y también en el teorema de Ulm , que describe la clasificación de ciertos grupos abelianos infinitos en términos de sus factores de Ulm o invariantes de Ulm .
Sea A un grupo abeliano y g un elemento de A . La p -altura de g en A , denotada h p ( g ), es el mayor número natural n tal que la ecuación p n x = g tiene una solución en x ∈ A , o el símbolo ∞ si existe una solución para todo n . Por lo tanto h p ( g ) = n si y solo si g ∈ p n A y g ∉ p n +1 A . Esto permite refinar la noción de altura.
Para cualquier ordinal α , existe un subgrupo p α A de A que es la imagen de la función de multiplicación por p iterada α veces, definida mediante inducción transfinita :
Los subgrupos p α A forman una filtración decreciente del grupo A , y su intersección es el subgrupo de los elementos p -divisibles de A , cuyos elementos tienen asignada una altura ∞. La p -altura modificada h p ∗ ( g ) = α si g ∈ p α A , pero g ∉ p α +1 A . La construcción de p α A es funcional en A ; en particular, los subcocientes de la filtración son invariantes de isomorfismo de A .
Sea p un número primo fijo. El (primer) subgrupo de Ulm de un grupo abeliano A , denotado U ( A ) o A 1 , es p ω A = ∩ n p n A , donde ω es el ordinal infinito más pequeño . Consiste en todos los elementos de A de altura infinita. La familia { U σ ( A )} de subgrupos de Ulm indexados por ordinales σ se define por inducción transfinita:
Equivalentemente, U σ ( A ) = p ωσ A , donde ωσ es el producto de los ordinales ω y σ .
Los subgrupos de Ulm forman una filtración decreciente de A cuyos cocientes U σ ( A ) = U σ ( A )/ U σ +1 ( A ) se denominan factores de Ulm de A . Esta filtración estabiliza y el ordinal τ más pequeño tal que U τ ( A ) = U τ +1 ( A ) es la longitud de Ulm de A . El subgrupo de Ulm más pequeño U τ ( A ), también denotado U ∞ ( A ) y p ∞ A, es el subgrupo p -divisible más grande de A ; si A es un p -grupo, entonces U ∞ ( A ) es divisible y, como tal, es un sumando directo de A .
Para cada factor de Ulm U σ ( A ) las p -alturas de sus elementos son finitas y no están acotadas para cada factor de Ulm excepto posiblemente el último, a saber, U τ −1 ( A ) cuando la longitud de Ulm τ es un ordinal sucesor .
El segundo teorema de Prüfer proporciona una extensión directa del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados a p -grupos abelianos numerables sin elementos de altura infinita: cada uno de estos grupos es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos cuyos órdenes son potencias de p . Además, la cardinalidad del conjunto de sumandos de orden p n está determinada de forma única por el grupo y se realiza cada secuencia de cardinalidades como máximo numerables. Helmut Ulm (1933) encontró una extensión de esta teoría de clasificación a p -grupos numerables generales: su clase de isomorfismo está determinada por las clases de isomorfismo de los factores de Ulm y la parte p -divisible.
Hay un complemento de este teorema, enunciado por primera vez por Leo Zippin (1935) y demostrado en Kurosh (1960), que aborda la existencia de un p -grupo abeliano con factores de Ulm dados.
La prueba original de Ulm se basó en una extensión de la teoría de divisores elementales a matrices infinitas .
George Mackey e Irving Kaplansky generalizaron el teorema de Ulm a ciertos módulos sobre un anillo de valoración discreto completo . Introdujeron invariantes de grupos abelianos que conducen a una declaración directa de la clasificación de grupos abelianos periódicos contables: dado un grupo abeliano A , un primo p y un ordinal α , el invariante de Ulm α º correspondiente es la dimensión del cociente
donde B [ p ] denota la p -torsión de un grupo abeliano B , es decir, el subgrupo de elementos de orden p , visto como un espacio vectorial sobre el campo finito con p elementos.
Su prueba simplificada del teorema de Ulm sirvió como modelo para muchas generalizaciones posteriores a otras clases de grupos y módulos abelianos.
