Categoría completa

Categoría con todos los límites de diagramas (pequeños)

En matemáticas , una categoría completa es una categoría en la que existen todos los límites pequeños . Es decir, una categoría C es completa si cada diagrama F  : J → C (donde J es pequeño ) tiene un límite en C. Dualmente , una categoría co-completa es una en la que existen todos los colimites pequeños . Una categoría bi-completa es una categoría que es a la vez completa y co-completa.

La existencia de todos los límites (incluso cuando J es una clase propia ) es demasiado fuerte para ser relevante en la práctica. Cualquier categoría con esta propiedad es necesariamente una categoría delgada : para dos objetos cualesquiera puede haber como máximo un morfismo de un objeto al otro.

Una forma más débil de completitud es la de completitud finita. Una categoría es finitamente completa si existen todos los límites finitos (es decir, los límites de los diagramas indexados por una categoría finita J ). Dualmente, una categoría es finitamente cocompleta si existen todos los colimites finitos.

Teoremas

Del teorema de existencia para límites se deduce que una categoría es completa si y solo si tiene ecualizadores (de todos los pares de morfismos) y todos los productos (pequeños) . Dado que los ecualizadores pueden construirse a partir de pullbacks y productos binarios (considere el pullback de ( f , g ) a lo largo de la diagonal Δ), una categoría es completa si y solo si tiene pullbacks y productos.

Dually, una categoría es co-completa si y sólo si tiene co-ecualizadores y todos los co-productos (pequeños) , o, equivalentemente, expulsiones y co-productos.

La completitud finita se puede caracterizar de varias maneras. Para una categoría C , las siguientes son todas equivalentes:

• C es finitamente completo,
• C tiene ecualizadores y todos los productos finitos,
• C tiene ecualizadores, productos binarios y un objeto terminal .
• C tiene retrocesos y un objeto terminal.

Las afirmaciones duales también son equivalentes.

Una categoría C pequeña está completa si y sólo si es co-completa. ^[1] Una categoría C pequeña es necesariamente delgada.

Una categoría posetal tiene vacuamente todos los ecualizadores y coecualizadores, por lo que es (finitamente) completa si y solo si tiene todos los productos (finitos), y dualmente para la cocompletitud. Sin la restricción de finitud una categoría posetal con todos los productos es automáticamente cocompleta, y dualmente, por un teorema sobre retículos completos.

Ejemplos y no ejemplos

• Las siguientes categorías son bicompletas:
  • Conjunto , la categoría de conjuntos
  • Arriba , la categoría de espacios topológicos
  • Grp , la categoría de grupos
  • Ab , la categoría de los grupos abelianos
  • Anillo , la categoría de anillos
  • K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K
  • R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R
  • CmptH , la categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff
  • Gato , la categoría de todas las pequeñas categorías.
  • Whl , la categoría de ruedas
  • sSet , la categoría de conjuntos simples ^[2]
• Las siguientes categorías son finitamente completas y finitamente co-completas, pero no completas ni co-completas:
  • La categoría de conjuntos finitos
  • La categoría de grupos abelianos finitos
  • La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita
• Cualquier categoría ( pre ) abeliana es finitamente completa y finitamente co-completa.
• La categoría de celosías completas es completa pero no co-completa.
• La categoría de espacios métricos , Met , es finitamente completa pero no tiene coproductos binarios ni productos infinitos.
• La categoría de campos , Campo , no es ni finitamente completa ni finitamente co-completa.
• Un poset , considerado como una categoría pequeña, es completo (y co-completo) si y sólo si es un retículo completo .
• La clase parcialmente ordenada de todos los números ordinales es co-completa pero no completa (ya que no tiene objeto terminal).
• Un grupo, considerado como una categoría con un único objeto, está completo si y solo si es trivial . Un grupo no trivial tiene pullbacks y pushouts, pero no productos, coproductos, ecualizadores, coecualizadores, objetos terminales u objetos iniciales.

Referencias

1. Categorías abstractas y concretas, Jiří Adámek, Horst Herrlich y George E. Strecker, teorema 12.7, página 213
2. Riehl, Emily (2014). Teoría de la homotopía categórica . Nueva York: Cambridge University Press. p. 32. ISBN 9781139960083.OCLC 881162803  .

Lectura adicional

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 ((2.ª ed.) ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.