En matemáticas , dados dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q , una función f : P → Q entre ellos es continua de Scott (llamada así en honor al matemático Dana Scott ) si conserva todos los supremas dirigidos . Es decir, para cada subconjunto dirigido D de P con supremo en P , su imagen tiene un supremo en Q , y ese supremo es la imagen del supremo de D , es decir , donde está la unión dirigida. [1] Cuando es el poset de valores de verdad, es decir, el espacio de Sierpiński , entonces las funciones continuas de Scott son funciones características de conjuntos abiertos y, por tanto, el espacio de Sierpiński es el espacio de clasificación para conjuntos abiertos. [2]
Un subconjunto O de un conjunto parcialmente ordenado P se llama Scott-abierto si es un conjunto superior y si es inaccesible mediante uniones dirigidas , es decir, si todos los conjuntos dirigidos D con supremo en O tienen intersección no vacía con O. Los subconjuntos abiertos de Scott de un conjunto parcialmente ordenado P forman una topología en P , la topología de Scott . Una función entre conjuntos parcialmente ordenados es continua de Scott si y sólo si es continua con respecto a la topología de Scott. [1]
La topología de Scott fue definida por primera vez por Dana Scott para redes completas y luego definida para conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados. [3]
Las funciones continuas de Scott se utilizan en el estudio de modelos para cálculos lambda [3] y la semántica denotacional de programas informáticos.
Una función continua de Scott es siempre monótona , lo que significa que si es para , entonces .
Un subconjunto de un orden parcial completo dirigido es cerrado con respecto a la topología de Scott inducida por el orden parcial si y sólo si es un conjunto inferior y cerrado bajo suprema de subconjuntos dirigidos. [4]
Un orden parcial completo dirigido (dcpo) con la topología de Scott es siempre un espacio de Kolmogorov (es decir, satisface el axioma de separación T 0 ). [4] Sin embargo, un dcpo con la topología de Scott es un espacio de Hausdorff si y sólo si el orden es trivial. [4] Los conjuntos abiertos de Scott forman una red completa cuando se ordenan por inclusión . [5]
Para cualquier espacio de Kolmogorov, la topología induce una relación de orden en ese espacio, el orden de especialización : x ≤ y si y sólo si cada vecindad abierta de x es también una vecindad abierta de y . La relación de orden de un dcpo D se puede reconstruir a partir de los conjuntos abiertos de Scott como el orden de especialización inducido por la topología de Scott. Sin embargo, un dcpo equipado con la topología de Scott no tiene por qué ser sobrio : el orden de especialización inducido por la topología de un espacio sobrio convierte ese espacio en un dcpo, pero la topología de Scott derivada de este orden es más fina que la topología original. [4]
Los conjuntos abiertos en un espacio topológico dado, cuando se ordenan por inclusión , forman una red en la que se puede definir la topología de Scott. Un subconjunto X de un espacio topológico T es compacto con respecto a la topología de T (en el sentido de que toda cubierta abierta de X contiene una subcubierta finita de X ) si y sólo si el conjunto de vecindades abiertas de X es abierto con respecto a la topología de Scott. [5]
Para CPO , la categoría cartesiana cerrada de dcpo, dos ejemplos particularmente notables de funciones continuas de Scott son curry y apply . [6]
Nuel Belnap utilizó la continuidad de Scott para extender los conectivos lógicos a una lógica de cuatro valores . [7]
![{\displaystyle \sqcup f[D]=f(\sqcup D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c715897d8687fbb6c42ee7c69cce594ebed8447)
