Módulo G

Un grupo abeliano

El toro puede convertirse en un grupo abeliano isomorfo al producto del grupo del círculo . Este grupo abeliano es un módulo de cuatro grupos de Klein , donde el grupo actúa por reflexión en cada una de las direcciones de coordenadas (representadas aquí por flechas rojas y azules que se intersecan en el elemento identidad).

En matemáticas , dado un grupo G , un G -módulo es un grupo abeliano M en el que G actúa de manera compatible con la estructura del grupo abeliano en M. Esta noción de amplia aplicación generaliza la de una representación de G. La (co)homología de grupos proporciona un conjunto importante de herramientas para estudiar los G -módulos generales.

El término G -módulo también se utiliza para la noción más general de un R -módulo sobre el cual G actúa linealmente (es decir, como un grupo de automorfismos de R -módulo ).

Definición y conceptos básicos

Sea un grupo. Un módulo izquierdo consta de ^[1] un grupo abeliano junto con una acción de grupo izquierdo tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho :G\times M\to M}$

g · ( a1 + a2 ) ₌ g · a1 ₊ g · a2_​​

para todos los a ₁ y a ₂ en M y todos los g en G , donde g · a denota ρ( g , a ). Un G -módulo derecho se define de manera similar. Dado un G -módulo izquierdo M , se puede convertir en un G -módulo derecho definiendo a · g = g ⁻¹ · a .

Una función f  : M → N se denomina morfismo de G -módulos (o G -mapa lineal o G -homomorfismo ) si f es a la vez un homomorfismo de grupo y G -equivariante .

La colección de módulos G izquierdos (respectivamente derechos) y sus morfismos forman una categoría abeliana G -Mod (resp. Mod- G ). La categoría G - Mod (resp. Mod - G ) se puede identificar con la categoría de módulos ZG izquierdos (rep. derechos) , es decir, con los módulos sobre el anillo de grupo Z [ G ].

Un submódulo de un G -módulo M es un subgrupo A ⊆ M que es estable bajo la acción de G , es decir g · a ∈ A para todo g ∈ G y a ∈ A . Dado un submódulo A de M , el módulo cociente M / A es el grupo cociente con acción g ·( m + A ) = g · m + A .

Ejemplos

• Dado un grupo G , el grupo abeliano Z es un G -módulo con la acción trivial g · a = a .
• Sea M el conjunto de formas cuadráticas binarias f ( x , y ) = ax ² + 2 bxy + cy ² con a , b , c enteros y sea G = SL(2, Z ) (el grupo lineal especial 2×2 sobre Z ). Definir

${\displaystyle (g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^{t})=f\left((x,y)\cdot {\begin{bmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{bmatrix}}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),}$

dónde

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

y ( x , y ) g es la multiplicación de matrices . Entonces M es un G -módulo estudiado por Gauss . ^[2] De hecho, tenemos

${\displaystyle g(h(f(x,y)))=gf((x,y)h^{t})=f((x,y)h^{t}g^{t})=f((x,y)(gh)^{t})=(gh)f(x,y).}$

• Si V es una representación de G sobre un cuerpo K , entonces V es un G -módulo (es un grupo abeliano bajo adición).

Grupos topológicos

Si G es un grupo topológico y M es un grupo topológico abeliano, entonces un módulo G topológico es un módulo G donde el mapa de acción G × M → M es continuo (donde la topología del producto se toma en G × M ). ^[3]

En otras palabras, un G-módulo topológico es un grupo topológico abeliano M junto con una función continua G × M → M que satisface las relaciones habituales g ( a + a′ ) = ga + ga′ , ( gg′ ) a = g ( g′a ), y 1 a = a .

Notas

1. Curtis, Charles W. ; Reiner, Irving (1962), Teoría de la representación de grupos finitos y álgebras asociativas , John Wiley & Sons (reedición 2006 por AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
2. Kim, Myung-Hwan (1999), Formas cuadráticas integrales y redes: Actas de la Conferencia internacional sobre formas cuadráticas integrales y redes, 15-19 de junio de 1998, Universidad Nacional de Seúl, Corea , American Mathematical Soc.
3. D. Wigner (1973). "Cohomología algebraica de grupos topológicos". Trans. Amer. Math. Soc . 178 : 83–93. doi : 10.1090/s0002-9947-1973-0338132-7 .

Referencias

• Capítulo 6 de Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.