Mapa multilineal

Función vectorial de múltiples vectores, lineal en cada argumento

En álgebra lineal , una función multilineal es una función de varias variables que es lineal por separado en cada variable. Más precisamente, una función multilineal es una función

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

donde ( ) y son espacios vectoriales (o módulos sobre un anillo conmutativo ), con la siguiente propiedad: para cada , si todas las variables pero se mantienen constantes, entonces es una función lineal de . ^[1] Una forma de visualizar esto es imaginar dos vectores ortogonales ; si uno de estos vectores se escala por un factor de 2 mientras que el otro permanece sin cambios, el producto vectorial también se escala por un factor de dos. Si ambos se escalan por un factor de 2, el producto vectorial se escala por un factor de . ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle 2^{2}}$

Una función multilineal de una variable es una función lineal y una función bilineal de dos variables . En términos más generales, para cualquier entero no negativo , una función multilineal de k variables se denomina función k -lineal . Si el codominio de una función multilineal es el cuerpo de escalares , se denomina forma multilineal . Las funciones multilineales y las formas multilineales son objetos fundamentales de estudio en el álgebra multilineal . ${\displaystyle k}$

Si todas las variables pertenecen al mismo espacio, se pueden considerar funciones k -lineales simétricas , antisimétricas y alternadas . Las dos últimas coinciden si el anillo (o campo ) subyacente tiene una característica diferente de dos, de lo contrario las dos primeras coinciden.

Ejemplos

• Cualquier función bilineal es una función multilineal. Por ejemplo, cualquier producto interno en un espacio vectorial es una función multilineal, al igual que el producto vectorial de los vectores en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• El determinante de una matriz es una función multilineal alterna de las columnas (o filas) de una matriz cuadrada .
• Si es una función C k , entonces la derivada n de en cada punto de su dominio puede verse como una función simétrica -lineal . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Representación de coordenadas

Dejar

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

sea ​​una función multilineal entre espacios vectoriales de dimensión finita , donde tiene dimensión , y tiene dimensión . Si elegimos una base para cada uno y una base para (usando negrita para vectores), entonces podemos definir una colección de escalares por ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle d_{i}\!}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle d\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Entonces los escalares determinan completamente la función multilineal . En particular, si ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$ ${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

para , entonces ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Ejemplo

Tomemos una función trilineal

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

donde V _i = R ² , d _i = 2, i = 1,2,3 , y W = R , d = 1 .

Una base para cada V _i es Sea ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

donde . En otras palabras, la constante es un valor de función en uno de los ocho triples posibles de vectores base (ya que hay dos opciones para cada uno de los tres ), a saber: ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle A_{ijk}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Cada vector puede expresarse como una combinación lineal de los vectores base. ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

El valor de la función en una colección arbitraria de tres vectores se puede expresar como ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

o en forma expandida como

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Relación con los productos tensoriales

Existe una correspondencia natural uno a uno entre mapas multilineales

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

y mapas lineales

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

donde denota el producto tensorial de . La relación entre las funciones y está dada por la fórmula ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

Funciones multilineales ennorte×nortematrices

Se pueden considerar funciones multilineales, sobre una matriz n × n sobre un anillo conmutativo K con identidad, como una función de las filas (o equivalentemente las columnas) de la matriz. Sea A una matriz de este tipo y a _i , 1 ≤ i ≤ n , las filas de A . Entonces la función multilineal D se puede escribir como

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

satisfactorio

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Si representamos la j -ésima fila de la matriz identidad, podemos expresar cada fila a _i como la suma ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Usando la multilinealidad de D reescribimos D ( A ) como

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Continuando esta sustitución para cada a _i obtenemos, para 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

Por lo tanto, D ( A ) está determinado únicamente por cómo D opera en . ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

Ejemplo

En el caso de matrices 2×2, obtenemos

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

donde y . Si restringimos a una función alternante, entonces y . Si hacemos , obtenemos la función determinante en matrices 2×2: ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$ ${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

Propiedades

• Un mapa multilineal tiene un valor de cero siempre que uno de sus argumentos sea cero.

Véase también

• Forma algebraica
• Forma multilineal
• Polinomio homogéneo
• Función homogénea
• Tensores

Referencias

1. Lang, Serge (2005) [2002]. "XIII. Matrices y aplicaciones lineales §S Determinantes". Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 211 (3.ª ed.). Springer. págs. 511–. ISBN 978-0-387-95385-4.