Función simétrica

Función que es invariante bajo todas las permutaciones de sus variables.

En matemáticas , una función de variables es simétrica si su valor es el mismo sin importar el orden de sus argumentos . Por ejemplo, una función de dos argumentos es una función simétrica si y solo si para todos y tales que y están en el dominio de Las funciones simétricas más comunes son las funciones polinómicas , que se dan por los polinomios simétricos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f.}$

Un concepto relacionado son los polinomios alternados , que cambian de signo ante un intercambio de variables. Aparte de las funciones polinómicas, los tensores que actúan como funciones de varios vectores pueden ser simétricos y, de hecho, el espacio de tensores simétricos en un espacio vectorial es isomorfo al espacio de polinomios homogéneos de grado en Las funciones simétricas no deben confundirse con las funciones pares e impares , que tienen un tipo diferente de simetría. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$

Simetrización

Dada cualquier función en variables con valores en un grupo abeliano , se puede construir una función simétrica sumando los valores de todas las permutaciones de los argumentos. De manera similar, se puede construir una función antisimétrica sumando las permutaciones pares y restando la suma de las permutaciones impares . Estas operaciones, por supuesto, no son invertibles y podrían dar como resultado una función que sea idénticamente cero para funciones no triviales. El único caso general donde se puede recuperar si se conocen tanto su simetrización como su antisimetrización es cuando y el grupo abeliano admite una división por 2 (inversa de la duplicación); entonces es igual a la mitad de la suma de su simetrización y su antisimetrización. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

• Consideremos la función real Por definición, una función simétrica con variables tiene la propiedad de que En general, la función permanece igual para cada permutación de sus variables. Esto significa que, en este caso, y así sucesivamente, para todas las permutaciones de $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$ $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$
• Considere la función Si y se intercambian, la función se convierte en que produce exactamente los mismos resultados que el original. $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$ ${\displaystyle f(x,y).}$
• Consideremos ahora la función Si y se intercambian, la función se convierte en Esta función no es la misma que la original si lo que la hace no simétrica. $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$ ${\displaystyle a\neq b,}$

Aplicaciones

Estadísticas U

En estadística , una estadística de muestra (una función en variables) que se obtiene mediante la simetrización bootstrap de una estadística de muestra, lo que produce una función simétrica en variables, se denomina estadística U. Algunos ejemplos incluyen la media de la muestra y la varianza de la muestra . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Polinomio alterno
• Polinomio simétrico elemental  – Función matemática
• Funciones pares e impares  : funciones tales que f(–x) es igual a f(x) o –f(x)
• Variables aleatorias intercambiables  : concepto en estadística
• Función cuasisimétrica
• Anillo de funciones simétricas
• Simetrización  : proceso que convierte cualquier función en n variables en una función simétrica en n variablesPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Polinomio de Vandermonde  : determinante de la matriz de VandermondePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• FN David , MG Kendall y DE Barton (1966) Función simétrica y tablas aliadas , Cambridge University Press .
• Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota y Catherine H. Yan (2009) Combinatoria: el método Rota , §5.1 Funciones simétricas, págs. 222-225, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-73794-4 .