En matemáticas , especialmente en un área del álgebra abstracta conocida como teoría de la representación , una representación fiel ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una representación lineal en la que los diferentes elementos g de G están representados por aplicaciones lineales distintas ρ ( g ) . En un lenguaje más abstracto, esto significa que el homomorfismo de grupo es inyectivo (o uno a uno ).
Aunque las representaciones de G sobre un cuerpo K son de facto las mismas que los K [ G ] - módulos (con K [ G ] denotando el álgebra de grupo del grupo G ), una representación fiel de G no es necesariamente un módulo fiel para el álgebra de grupo. De hecho, cada K [ G ] -módulo fiel es una representación fiel de G , pero la inversa no se cumple. Consideremos por ejemplo la representación natural del grupo simétrico S n en n dimensiones por matrices de permutación , que ciertamente es fiel. Aquí el orden del grupo es n ! mientras que las matrices n × n forman un espacio vectorial de dimensión n 2 . Tan pronto como n es al menos 4, el conteo de dimensiones significa que debe ocurrir alguna dependencia lineal entre matrices de permutación (ya que 24 > 16 ); esta relación significa que el módulo para el álgebra de grupo no es fiel.
Una representación V de un grupo finito G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K de característica cero es fiel (como representación) si y solo si cada representación irreducible de G ocurre como una subrepresentación de S n V (la n -ésima potencia simétrica de la representación V ) para un n suficientemente alto . Además, V es fiel (como representación) si y solo si cada representación irreducible de G ocurre como una subrepresentación de
(la n -ésima potencia tensorial de la representación V ) para un n suficientemente alto . [1]
