Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Fórmula en la teoría de Lie

En matemáticas , la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff da el valor de que resuelve la ecuación para X e Y posiblemente no conmutativos en el álgebra de Lie de un grupo de Lie . Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en y y conmutadores iterados de los mismos. Los primeros términos de esta serie son: donde " " indica términos que involucran conmutadores superiores de y . Si y son elementos suficientemente pequeños del álgebra de Lie de un grupo de Lie , la serie es convergente. Mientras tanto, cada elemento suficientemente cercano a la identidad en puede expresarse como para un pequeño en . Por lo tanto, podemos decir que cerca de la identidad la multiplicación de grupos en —escrita como — puede expresarse en términos puramente algebraicos de Lie. La fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff se puede utilizar para dar pruebas comparativamente simples de resultados profundos en la correspondencia grupo de Lie–álgebra de Lie . ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,}$$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

Si y son matrices suficientemente pequeñas , entonces se pueden calcular como el logaritmo de , donde las exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias . El objetivo de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es entonces la afirmación altamente no obvia de que se puede expresar como una serie en conmutadores repetidos de y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$ ${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Se pueden encontrar exposiciones modernas de la fórmula, entre otros lugares, en los libros de Rossmann ^[1] y Hall. ^[2]

Historia

La fórmula debe su nombre a Henry Frederick Baker , John Edward Campbell y Felix Hausdorff , quienes enunciaron su forma cualitativa, es decir, que solo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, ad infinitum, para expresar la solución. Un enunciado anterior de la forma fue esbozado por Friedrich Schur en 1890 ^[3] donde se da una serie de potencias convergentes, con términos definidos recursivamente. ^[4] Esta forma cualitativa es la que se utiliza en las aplicaciones más importantes, como las pruebas relativamente accesibles de la correspondencia de Lie y en la teoría cuántica de campos . Siguiendo a Schur, fue notada en forma impresa por Campbell ^[5] (1897); elaborada por Henri Poincaré ^[6] (1899) y Baker (1902); ^[7] y sistematizada geométricamente, y vinculada a la identidad de Jacobi por Hausdorff (1906). ^[8] La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin (1947). ^[9] La historia de la fórmula se describe en detalle en el artículo de Aquiles y Bonfiglioli ^[10] y en el libro de Bonfiglioli y Fulci. ^[11]

Formas explícitas

Para muchos propósitos, sólo es necesario saber que existe una expansión para en términos de conmutadores iterados de y ; los coeficientes exactos son a menudo irrelevantes. (Véase, por ejemplo, la discusión de la relación entre el grupo de Lie y los homomorfismos del álgebra de Lie en la Sección 5.2 del libro de Hall, ^[2] donde los coeficientes precisos no juegan ningún papel en el argumento.) Una prueba de existencia notablemente directa fue dada por Martin Eichler , ^[12] véase también la sección "Resultados de existencia" a continuación. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En otros casos, puede ser necesaria información detallada y, por lo tanto, es conveniente realizar los cálculos de la forma más explícita posible. Existen numerosas fórmulas; en esta sección describiremos dos de las principales (la fórmula de Dynkin y la fórmula integral de Poincaré). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

La fórmula de Dynkin

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Sea la función exponencial . La siguiente fórmula combinatoria general fue introducida por Eugene Dynkin (1947), ^{[13] [14]} donde la suma se realiza sobre todos los valores no negativos de y , y se ha utilizado la siguiente notación: con el entendimiento de que [ X ] := X . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$$ $${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}$$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ $${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]]}$$

La serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula establecida es válida) para todos los y suficientemente pequeños . Como [ A , A ] = 0 , el término es cero si o si y . ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s_{n}>1}$ ${\displaystyle s_{n}=0}$ ${\displaystyle r_{n}>1}$

Los primeros términos son bien conocidos, y todos los términos de orden superior involucran [ X , Y ] y sus anidamientos de conmutadores (por lo tanto, en el álgebra de Lie ):

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left([X,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left([X,[Y,[Y,[Y,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[X,[X,Y]]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}$

Lo anterior enumera todos los sumandos de orden 6 o inferior (es decir, aquellos que contienen 6 o menos X e Y ). La (anti-)/simetría X ↔ Y en órdenes alternados de la expansión, se sigue de Z ( Y , X ) = − Z (− X , − Y ) . Se puede encontrar una prueba elemental completa de esta fórmula en el artículo sobre la derivada de la función exponencial .

Una fórmula integral

Existen muchas otras expresiones para , muchas de las cuales se utilizan en la literatura de física. ^{[16] [17]} Una fórmula integral popular es ^{[18] [19]} que involucra la función generadora para los números de Bernoulli , utilizada por Poincaré y Hausdorff. ^{[nb 1]} ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,}$$ $${\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}$$

Ilustración del grupo de mentiras de Matrix

Para un grupo de Lie de matrices, el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I , y el conmutador es simplemente [ X , Y ] = XY − YX ; la función exponencial es la función exponencial estándar de matrices . ${\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$$

Cuando se resuelve Z utilizando las expansiones en serie para exp y log se obtiene una fórmula más simple: ^{[nb 2]} Los términos de primer, segundo, tercer y cuarto orden son: $${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}$$ $${\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.}$$

• $${\displaystyle z_{1}=X+Y}$$
• $${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}$$
• $${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)}$$
• $${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).}$$

La fórmula para los distintos s no es la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff. Más bien, la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es una de las diversas expresiones para s en términos de conmutadores repetidos de y . El punto es que está lejos de ser obvio que sea posible expresar cada uno en términos de conmutadores. (Se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que es expresable como una combinación lineal de los dos conmutadores de tercer orden no triviales de y , a saber y ). El resultado general de que cada uno es expresable como una combinación de conmutadores fue demostrado de una manera elegante y recursiva por Eichler. ^[12] ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,[X,Y]]}$ ${\displaystyle [Y,[X,Y]]}$ ${\displaystyle z_{j}}$

Una consecuencia de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza : Es decir, como cada uno con se puede expresar como una combinación lineal de conmutadores, la traza de cada uno de esos términos es cero. $${\displaystyle \operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}$$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle j\geq 2}$

Cuestiones de convergencia

Supóngase que y son las siguientes matrices en el álgebra de Lie (el espacio de matrices con traza cero): Entonces no es difícil demostrar ^[20] que no existe una matriz en con . (Se pueden encontrar ejemplos similares en el artículo de Wei. ^[21] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ $${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

Este sencillo ejemplo ilustra que las diversas versiones de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff, que dan expresiones para Z en términos de corchetes de Lie iterados de X e Y , describen series de potencias formales cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si uno quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contenga X e Y (en oposición a una serie de potencias formales), uno tiene que suponer que X e Y son pequeñas. Por lo tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es solo una afirmación local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente uno puede tener grupos de Lie no isomorfos con álgebras de Lie isomorfas.

Concretamente, si se trabaja con un álgebra de Lie matricial y se da una norma matricial submultiplicativa , la convergencia está garantizada ^{[14] [22]} si ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}$$

Casos especiales

Si y viajan, es decir , la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff se reduce a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=0}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Otro caso supone que conmuta con y , como en el caso del grupo nilpotente de Heisenberg . Entonces la fórmula se reduce a sus primeros tres términos . ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema  ( ^[23] )  —  Si y conmutan con su conmutador, , entonces . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}}$

Este es el caso degenerado que se utiliza rutinariamente en mecánica cuántica , como se ilustra a continuación y que a veces se conoce como el teorema de desenredado . ^[24] En este caso, no hay restricciones de pequeñez en y . Este resultado está detrás de las "relaciones de conmutación exponenciadas" que entran en el teorema de Stone-von Neumann . A continuación se ofrece una prueba simple de esta identidad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Otra forma útil de la fórmula general enfatiza la expansión en términos de Y y utiliza la notación de aplicación adjunta : lo cual es evidente a partir de la fórmula integral anterior. (Los coeficientes de los conmutadores anidados con un solo son números de Bernoulli normalizados). ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}$ $${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),}$$ ${\displaystyle Y}$

Ahora supongamos que el conmutador es un múltiplo de , de modo que . Entonces todos los conmutadores iterados serán múltiplos de , y no aparecerán términos cuadráticos o superiores en . Por lo tanto, el término anterior se anula y obtenemos: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=sY}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O\left(Y^{2}\right)}$

Teorema  ( ^[25] )  —  Si , donde es un número complejo con para todos los enteros , entonces tenemos ${\displaystyle [X,Y]=sY}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 2\pi in}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=\exp \left(X+{\frac {s}{1-e^{-s}}}Y\right).}$$

Nuevamente, en este caso no hay restricción de pequeñez en y . La restricción en garantiza que la expresión del lado derecho tenga sentido. (Cuando podemos interpretar .) También obtenemos una "identidad de trenzado" simple: que puede escribirse como una dilatación adjunta: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},}$$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.}$$

Resultados de existencia

Si y son matrices, se puede calcular utilizando la serie de potencias para la exponencial y logarítmica, con convergencia de la serie si y son suficientemente pequeños. Es natural agrupar todos los términos donde el grado total en y es igual a un número fijo , dando una expresión . (Véase la sección "Ilustración del grupo de Lie de la matriz" más arriba para las fórmulas de los primeros ). Martin Eichler dio una prueba recursiva notablemente directa y concisa de que cada uno es expresable en términos de conmutadores repetidos de y . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Alternativamente, podemos dar un argumento de existencia de la siguiente manera. La fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff implica que si X e Y están en alguna álgebra de Lie definida sobre cualquier cuerpo de característica 0 como o , entonces puede escribirse formalmente como una suma infinita de elementos de . [Esta serie infinita puede o no converger, por lo que no necesita definir un elemento real Z en .] Para muchas aplicaciones, la mera garantía de la existencia de esta expresión formal es suficiente, y no se necesita una expresión explícita para esta suma infinita. Este es, por ejemplo, el caso de la construcción lorentziana ^[26] de una representación de grupo de Lie a partir de una representación de álgebra de Lie. La existencia puede verse de la siguiente manera. ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Consideramos el anillo de todas las series de potencias formales no conmutativas con coeficientes reales en las variables no conmutativas X e Y . Existe un homomorfismo de anillo desde S hasta el producto tensorial de S con S sobre R , llamado coproducto , tal que y (La definición de Δ se extiende a los otros elementos de S al requerir R -linealidad, multiplicatividad y aditividad infinita). ${\displaystyle S=\mathbb {R} [[X,Y]]}$ $${\displaystyle \Delta \colon S\to S\otimes S,}$$ $${\displaystyle \Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X}$$ $${\displaystyle \Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.}$$

Se pueden entonces verificar las siguientes propiedades:

• La función exp , definida por su serie de Taylor estándar , es una biyección entre el conjunto de elementos de S con término constante 0 y el conjunto de elementos de S con término constante 1; la inversa de exp es log
• ${\displaystyle r=\exp(s)}$es grupal (esto significa ) si y solo si s es primitivo (esto significa ). ${\displaystyle \Delta (r)=r\otimes r}$ ${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s}$
• Los elementos agrupados forman un grupo bajo la multiplicación.
• Los elementos primitivos son exactamente las sumas infinitas formales de elementos del álgebra de Lie generada por X e Y , donde el corchete de Lie está dado por el conmutador . ( Teorema de Friedrichs ^{[16] [13]} ) ${\displaystyle [U,V]=UV-VU}$

La existencia de la fórmula de Campbell-Baker-Hausdorff ahora puede verse de la siguiente manera: ^[13] Los elementos X e Y son primitivos, por lo que y son similares a un grupo; por lo que su producto también es similar a un grupo; por lo que su logaritmo es primitivo; y, por lo tanto , puede escribirse como una suma infinita de elementos del álgebra de Lie generada por X e Y. ${\displaystyle \exp(X)}$ ${\displaystyle \exp(Y)}$ ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)}$ ${\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))}$

El álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre generada por X e Y es isomorfa al álgebra de todos los polinomios no conmutativos en X e Y . En común con todas las álgebras envolventes universales, tiene una estructura natural de álgebra de Hopf , con un coproducto Δ . El anillo S utilizado anteriormente es simplemente una terminación de esta álgebra de Hopf.

Fórmula de Zassenhaus

Una expansión combinatoria relacionada que es útil en aplicaciones duales ^[16] es donde los exponentes de orden superior en t son igualmente conmutadores anidados, es decir, polinomios de Lie homogéneos. ^[27] Estos exponentes, C _n en exp(− tX ) exp( t ( X+Y )) = Π _n exp( t ⁿ C _n ) , siguen recursivamente por aplicación de la expansión BCH anterior. $${\displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots }$$

Como corolario de esto se sigue la descomposición de Suzuki-Trotter .

Identidad de Campbell

La siguiente identidad (Campbell 1897) conduce a un caso especial de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff. Sea G un grupo de Lie matricial y g su álgebra de Lie correspondiente. Sea ad _X el operador lineal sobre g definido por ad _X Y = [ X , Y ] = XY − YX para algún X ∈ g fijo . (El endomorfismo adjunto encontrado anteriormente.) Denote con Ad _A para A ∈ G fijo la transformación lineal de g dada por Ad _A Y = AYA ⁻¹ .

Un lema combinatorio estándar que se utiliza ^[18] para producir las expansiones explícitas anteriores se da en ^[28].

Lema  (Campbell 1897)  —  así, explícitamente, $${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$$

Esta es una fórmula particularmente útil que se utiliza comúnmente para realizar transformadas unitarias en mecánica cuántica . Al definir el conmutador iterado, podemos escribir esta fórmula de manera más compacta como: $${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$$ $${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}}.}$$

Prueba

Evaluar la derivada con respecto a s de f  ( s ) Y ≡ e ^sX Y e ^{− sX} , solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en s = 1 , o ^[29] $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}$$ $${\displaystyle f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.}$$

Una aplicación de la identidad

Para [ X , Y ] central, es decir, conmuta tanto con X como con Y , En consecuencia, para g ( s ) ≡ e ^sX e ^sY , se deduce que cuya solución es Tomando se obtiene uno de los casos especiales de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff descrita anteriormente: $${\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.}$$ $${\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,}$$ $${\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.}$$ ${\displaystyle s=1}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}~.}$$

De manera más general, para [ X , Y ] no central , tenemos que puede escribirse como la siguiente identidad de trenzado: ${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{e^{X}Ye^{-X}}=e^{e^{{\text{ad}}_{X}}Y},}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots )}~e^{X}.}$$

Caso infinitesimal

Una variante particularmente útil de lo anterior es la forma infinitesimal. Esta se escribe comúnmente como Esta variación se usa comúnmente para escribir coordenadas y vielbeins como pullbacks de la métrica en un grupo de Lie. $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$$

Por ejemplo, al escribir para algunas funciones y una base para el álgebra de Lie, uno calcula fácilmente que para las constantes de estructura del álgebra de Lie. ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

La serie se puede escribir de forma más compacta (cf. artículo principal) como en el caso de la serie infinita. Aquí, M es una matriz cuyos elementos son . $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}$$ $${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$

La utilidad de esta expresión proviene del hecho de que la matriz M es un vielbein. Por lo tanto, dada alguna función de alguna variedad N a alguna variedad G , el tensor métrico en la variedad N puede escribirse como el pullback del tensor métrico en el grupo de Lie G , El tensor métrico en el grupo de Lie es la métrica de Cartan, la forma Killing . Para N una variedad (pseudo-) riemanniana , la métrica es una métrica (pseudo-) riemanniana . ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ $${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}$$ ${\displaystyle B_{mn}}$

Aplicación en mecánica cuántica

Un caso especial de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es útil en mecánica cuántica y especialmente en óptica cuántica , donde X e Y son operadores del espacio de Hilbert , generando el álgebra de Lie de Heisenberg . Específicamente, los operadores de posición y momento en mecánica cuántica, usualmente denotados y , satisfacen la relación de conmutación canónica : donde es el operador identidad. Se deduce que y conmutan con su conmutador. Por lo tanto, si aplicamos formalmente un caso especial de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff (aunque y son operadores no acotados y no matrices), concluiríamos que Esta "relación de conmutación exponenciada" de hecho se cumple, y forma la base del teorema de Stone–von Neumann . Además, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle [X,P]=i\hbar I}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.}$$ ${\displaystyle e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.}$

Una aplicación relacionada son los operadores de aniquilación y creación , â y â ^† . Su conmutador [ â ^† , â ] = − I es central , es decir, conmuta tanto con â como con â ^† . Como se indicó anteriormente, la expansión luego colapsa a la forma degenerada semitrivial: donde v es simplemente un número complejo. $${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}$$

Este ejemplo ilustra la resolución del operador de desplazamiento , exp( vâ ^† − v ^* â ) , en exponenciales de operadores de aniquilación y creación y escalares. ^[30]

Esta fórmula degenerada de Baker–Campbell–Hausdorff muestra entonces el producto de dos operadores de desplazamiento como otro operador de desplazamiento (hasta un factor de fase), con el desplazamiento resultante igual a la suma de los dos desplazamientos, ya que el grupo de Heisenberg del que proporcionan una representación es nilpotente . La fórmula degenerada de Baker–Campbell–Hausdorff también se utiliza con frecuencia en la teoría cuántica de campos . ^[31] $${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}e^{u{\hat {a}}^{\dagger }-u^{*}{\hat {a}}}=e^{(v+u){\hat {a}}^{\dagger }-(v^{*}+u^{*}){\hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},}$$

Véase también

• Matriz exponencial
• Logaritmo de una matriz
• Fórmula del producto Lie (Fórmula del producto Trotter)
• Correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie
• Derivada del mapa exponencial
• Expansión de Magnus
• Teorema de Stone-von Neumann
• Desigualdad de Golden-Thompson

Notas

1. Recordemos los números de Bernoulli , B ₀ = 1, B ₁ = 1/2, B ₂ = 1/6, B ₄ = −1/30, ... $${\displaystyle \psi (e^{y})=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}~y^{n}/n!,}$$
2. Rossmann 2002 Ecuación (2) Sección 1.3. Para álgebras de Lie matriciales sobre los cuerpos R y C , el criterio de convergencia es que la serie logarítmica converge para ambos lados de e ^Z = e ^X e ^Y . Esto está garantizado siempre que ‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2, ‖ Z ‖ < log 2 en la norma de Hilbert–Schmidt . La convergencia puede ocurrir en un dominio más grande. Véase Rossmann 2002 p. 24.

Referencias

1. Rossmann 2002
2. el salón 2015
3. F. Schur (1890), "Neue Begründung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen , 35 (1890), 161-197. copia en línea
4. Véase, por ejemplo, Shlomo Sternberg , Lie Algebras (2004), Universidad de Harvard. ( cf. pág. 10 ).
5. John Edward Campbell , Actas de la London Mathematical Society 28 (1897) 381–390; (cf pp386-7 para el lema epónimo); J. Campbell, Actas de la London Mathematical Society 29 (1898) 14–32.
6. Henri Poincaré , Comptes rendus de l'Académie des Sciences 128 (1899) 1065-1069; Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge 18 (1899) 220–255. en línea
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Bibliografía

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Enlaces externos

• CK Zachos , Notas de cuna sobre expansiones de CBH doi :10.13140/2.1.3090.2409
• Página de MathWorld