Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

Fórmula en la teoría de la mentira

En matemáticas , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff da el valor de que resuelve la ecuación ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$$

para XYno conmutativosálgebra de Liegrupo de Lie ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,}$$

cerca de la identidadcorrespondencia del álgebra de Lie entre el grupo de Lie ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

Si y son matrices suficientemente pequeñas , entonces se pueden calcular como el logaritmo de , donde las exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias . El objetivo de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff es entonces la afirmación altamente no obvia de que puede expresarse como una serie de conmutadores repetidos de y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$ ${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Se pueden encontrar exposiciones modernas de la fórmula, entre otros lugares, en los libros de Rossmann ^[1] y Hall. ^[2]

Historia

La fórmula lleva el nombre de Henry Frederick Baker , John Edward Campbell y Felix Hausdorff , quienes establecieron su forma cualitativa, es decir, que sólo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, ad infinitum, para expresar la solución. Friedrich Schur esbozó una declaración anterior de la forma en 1890 ^[3] donde se da una serie de potencias convergentes, con términos definidos recursivamente. ^[4] Esta forma cualitativa es la que se utiliza en las aplicaciones más importantes, como las pruebas relativamente accesibles de la correspondencia de Lie y en la teoría cuántica de campos . Siguiendo a Schur, Campbell ^[5] (1897) lo anotó en forma impresa ; elaborado por Henri Poincaré ^[6] (1899) y Baker (1902); ^[7] y sistematizado geométricamente, y vinculado a la identidad Jacobi por Hausdorff (1906). ^[8] La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin (1947). ^[9] La historia de la fórmula se describe en detalle en el artículo de Aquiles y Bonfiglioli ^[10] y en el libro de Bonfiglioli y Fulci. ^[11]

Formas explícitas

Para muchos propósitos, sólo es necesario saber que existe una expansión para en términos de conmutadores iterados de y ; los coeficientes exactos suelen ser irrelevantes. (Véase, por ejemplo, la discusión sobre la relación entre los homomorfismos del grupo de Lie y del álgebra de Lie en la Sección 5.2 del libro de Hall, ^{[2] donde los coeficientes precisos no juegan ningún papel en el argumento.)} Martin Eichler proporcionó una prueba de existencia notablemente directa , ^[12] consulte también la sección "Resultados de existencia" a continuación. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En otros casos, es posible que se necesite información detallada y, por lo tanto, es deseable calcular lo más explícitamente posible. Existen numerosas fórmulas; En esta sección describiremos dos de las principales (la fórmula de Dynkin y la fórmula integral de Poincaré). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

La fórmula de Dynkin.

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Dejar ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$$

mapa exponencialEugene Dynkin^{[13] [14]}

$${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}$$

${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

$${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]]}$$

[ X ] := X

La serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula indicada es válida) para todos los suficientemente pequeños y . Como [ A , A ] = 0 , el término es cero si o si y . ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s_{n}>1}$ ${\displaystyle s_{n}=0}$ ${\displaystyle r_{n}>1}$

Los primeros términos son bien conocidos, y todos los términos de orden superior involucran [ X , Y ] y sus anidamientos de conmutadores (por lo tanto, en el álgebra de Lie ):

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left([X,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left([X,[Y,[Y,[Y,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[X,[X,Y]]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}$

Lo anterior enumera todos los sumandos de orden 6 o inferior (es decir, aquellos que contienen 6 o menos X e Y ). La X ↔ Y (anti-)/simetría en órdenes alternos de la expansión, se deriva de Z ( Y , X ) = − Z (− X , − Y ) . Se puede encontrar una prueba elemental completa de esta fórmula en el artículo sobre la derivada de la aplicación exponencial .

Una fórmula integral

Existen muchas otras expresiones para , muchas de las cuales se utilizan en la literatura de física. ^{[16] [17]} Una fórmula integral popular es ^{[18] [19]} ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,}$$

función generadora de los números de Bernoulli

$${\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}$$

^{[nota 1]}

Ilustración del grupo Matrix Lie

Para una matriz del grupo de Lie, el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I , y el conmutador es simplemente [ X , Y ] = XY − YX ; el mapa exponencial es el mapa exponencial estándar de matrices , ${\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$$

Cuando se resuelve para Z en

$${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}$$

explog

$${\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.}$$

^{[nb 2]}

• $${\displaystyle z_{1}=X+Y}$$
• $${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}$$
• $${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)}$$
• $${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).}$$

Las fórmulas para los distintos no son la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Más bien, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es una de varias expresiones para en términos de conmutadores repetidos de y . La cuestión es que no es nada obvio que sea posible expresar cada uno de ellos en términos de conmutadores. (Se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que es expresable como una combinación lineal de los dos conmutadores no triviales de tercer orden de y , es decir, y ). Se mostró el resultado general de que cada uno es expresable como una combinación de conmutadores. de forma elegante y recursiva por Eichler. ^[12] ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,[X,Y]]}$ ${\displaystyle [Y,[X,Y]]}$ ${\displaystyle z_{j}}$

Una consecuencia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza :

$${\displaystyle \operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}$$

${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle j\geq 2}$

Cuestiones de convergencia

Supongamos que y son las siguientes matrices en el álgebra de Lie (el espacio de matrices con traza cero): ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

^[20][21] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

Este sencillo ejemplo ilustra que las diversas versiones de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que dan expresiones para Z en términos de corchetes de Lie iterados de X e Y , describen series de potencias formales cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si se quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contenga X e Y (a diferencia de una serie de potencias formal), hay que suponer que X e Y son pequeños. Por tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es sólo una afirmación local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente se pueden tener grupos de Lie no isomórficos con álgebras de Lie isomórficas.

Concretamente, si se trabaja con una matriz de álgebra de Lie y es una norma matricial submultiplicativa dada , la convergencia está garantizada ^{[14] [22]} si ${\displaystyle \|\cdot \|}$

$${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}$$

Casos especiales

Si y conmutan, es decir , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se reduce a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=0}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Otro caso supone que conmuta con ambos y , como ocurre con el nilpotente grupo de Heisenberg . Luego la fórmula se reduce a sus primeros tres términos . ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema : ^[23] Si y conmutan con su conmutador, entonces . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}}$

Este es el caso degenerado que se utiliza habitualmente en la mecánica cuántica , como se ilustra a continuación, y que a veces se conoce como teorema del desenredo . ^[24] En este caso, no hay restricciones de pequeñez en y . Este resultado está detrás de las "relaciones de conmutación exponenciadas" que entran en el teorema de Stone-von Neumann . A continuación se proporciona una prueba sencilla de esta identidad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Otra forma útil de la fórmula general enfatiza la expansión en términos de Y y utiliza la notación de mapeo adjunto : ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}$

$${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),}$$

${\displaystyle Y}$

Ahora supongamos que el conmutador es múltiplo de , de modo que . Entonces todos los conmutadores iterados serán múltiplos de y no aparecerán términos cuadráticos o superiores. Así, el término anterior desaparece y obtenemos: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=sY}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O\left(Y^{2}\right)}$

Teorema : ^[25] Si , donde es un número complejo para todos los números enteros , entonces tenemos ${\displaystyle [X,Y]=sY}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 2\pi in}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=\exp \left(X+{\frac {s}{1-e^{-s}}}Y\right).}$$

Nuevamente, en este caso no hay restricción de pequeñez en y . La restricción de garantiza que la expresión del lado derecho tenga sentido. (Cuando podemos interpretar .) También obtenemos una "identidad trenzada" simple: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}$

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},}$$

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.}$$

Resultados de existencia

Si y son matrices, se puede calcular usando la serie de potencias para el exponencial y el logaritmo, con convergencia de la serie si y son suficientemente pequeños. Es natural reunir todos los términos donde el grado total en y es igual a un número fijo , dando una expresión . (Consulte la sección "Ilustración del grupo Matrix Lie" más arriba para ver las fórmulas de los primeros ). Martin Eichler proporcionó una prueba recursiva notablemente directa, concisa y de que cada uno es expresable en términos de conmutadores repetidos de y . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Alternativamente, podemos dar un argumento de existencia de la siguiente manera. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff implica que si X e Y están en algún álgebra de Lie definida sobre cualquier campo de característica 0 como o , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),}$$

Zlorentziana ^[26] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Consideramos el anillo de todas las series de potencias formales no conmutantes con coeficientes reales en las variables no conmutantes X e Y. Hay un homomorfismo de anillo de S al producto tensorial de S con S sobre R , ${\displaystyle S=\mathbb {R} [[X,Y]]}$

$${\displaystyle \Delta \colon S\to S\otimes S,}$$

coproducto

$${\displaystyle \Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X}$$

$${\displaystyle \Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.}$$

SR

Entonces se pueden verificar las siguientes propiedades:

• La aplicación exp , definida por su serie estándar de Taylor , es una biyección entre el conjunto de elementos de S con término constante 0 y el conjunto de elementos de S con término constante 1; el inverso de exp es log
• ${\displaystyle r=\exp(s)}$es similar a un grupo (esto significa ) si y sólo si s es primitivo (esto significa ). ${\displaystyle \Delta (r)=r\otimes r}$ ${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s}$
• Los elementos grupales forman un grupo mediante la multiplicación.
• Los elementos primitivos son exactamente las sumas infinitas formales de elementos del álgebra de Lie generada por X e Y , donde el soporte de Lie está dado por el conmutador . ( Teorema de Friedrichs ^{[16] [13]} ) ${\displaystyle [U,V]=UV-VU}$

La existencia de la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff ahora se puede ver de la siguiente manera: ^[13] Los elementos X e Y son primitivos, por lo tanto y son como grupos; entonces su producto también es grupal; entonces su logaritmo es primitivo; y por tanto puede escribirse como una suma infinita de elementos del álgebra de Lie generada por X e Y. ${\displaystyle \exp(X)}$ ${\displaystyle \exp(Y)}$ ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)}$ ${\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))}$

El álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre generada por X e Y es isomorfa al álgebra de todos los polinomios no conmutantes en X e Y. Al igual que todas las álgebras envolventes universales, tiene una estructura natural de álgebra de Hopf , con un coproducto Δ . El anillo S usado arriba es solo una finalización de esta álgebra de Hopf.

Fórmula de Zassenhaus

Una expansión combinatoria relacionada que es útil en aplicaciones duales ^[16] es

$${\displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots }$$

t^[27]C _nexp(− tX ) exp( t ( X+Y )) = Π _n exp( t ⁿ C _n )

Como corolario de esto, sigue la descomposición Suzuki-Trotter .

Un lema importante y su aplicación a un caso especial de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

La identidad (Campbell 1897)

Sea G una matriz del grupo de Lie y g su correspondiente álgebra de Lie. Sea ad _X el operador lineal en g definido por ad _X Y = [ X , Y ] = XY − YX para algún X ∈ g fijo . (El endomorfismo adjunto encontrado anteriormente). Denote con Ad _A para A ∈ G fijo la transformación lineal de g dada por Ad _A Y = AYA ⁻¹ .

Un lema combinatorio estándar que se utiliza ^[18] para producir las expansiones explícitas anteriores viene dado por ^[28]

$${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},}$$

$${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$$

transformaciones unitarias en mecánica cuántica

$${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$$

$${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}}.}$$

Esta fórmula se puede probar evaluando la derivada con respecto a s de f  ( s ) Y ≡ e ^sX Y e ^{− sX} , solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en s = 1 ,

$${\displaystyle {\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}$$

^[29]

$${\displaystyle f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.}$$

Una aplicación de la identidad.

Para [ X , Y ] central, es decir, conmutando tanto con X como con Y ,

$${\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.}$$

g ( s ) ≡ e ^sX e ^sY

$${\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,}$$

$${\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.}$$

${\displaystyle s=1}$

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}~.}$$

De manera más general, para [ X , Y ] no central , la siguiente identidad de trenzado se sigue fácilmente:

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots )}~e^{X}.}$$

caso infinitesimal

Una variante particularmente útil de lo anterior es la forma infinitesimal. Esto se escribe comúnmente como

$${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$$

vielbeins

Por ejemplo, al escribir algunas funciones y una base para el álgebra de Lie, se calcula fácilmente que ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

$${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,}$$

constantes de estructura ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

La serie se puede escribir de forma más compacta (cf. artículo principal) como

$${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}$$

$${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$$

M ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$

La utilidad de esta expresión proviene del hecho de que la matriz M es un vielbein. Por lo tanto, dado algún mapa de alguna variedad N a alguna variedad G , el tensor métrico en la variedad N se puede escribir como el retroceso del tensor métrico en el grupo de Lie G , ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle B_{mn}}$

$${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}$$

forma KillingNriemannianamétrica (pseudo-)riemanniana ${\displaystyle B_{mn}}$

Aplicación en mecánica cuántica

Un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es útil en mecánica cuántica y especialmente en óptica cuántica , donde X e Y son operadores espaciales de Hilbert , generando el álgebra de Lie de Heisenberg . Específicamente, los operadores de posición y momento en mecánica cuántica, generalmente denotados y , satisfacen la relación de conmutación canónica : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle [X,P]=i\hbar I}$$

formalmente ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.}$$

teorema de Stone-von Neumann ${\displaystyle e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.}$

Una aplicación relacionada son los operadores de aniquilación y creación , â y â ^† . Su conmutador [ â ^† , â ] = − I es central , es decir, conmuta tanto con â como con â ^† . Como se indicó anteriormente, la expansión luego colapsa a la forma degenerada semi-trivial:

$${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}$$

v

Este ejemplo ilustra la resolución del operador de desplazamiento , exp( vâ ^† − v ^* â ) , en exponenciales de operadores y escalares de aniquilación y creación. ^[30]

Esta fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff luego muestra el producto de dos operadores de desplazamiento como otro operador de desplazamiento (hasta un factor de fase), con el desplazamiento resultante igual a la suma de los dos desplazamientos,

$${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}e^{u{\hat {a}}^{\dagger }-u^{*}{\hat {a}}}=e^{(v+u){\hat {a}}^{\dagger }-(v^{*}+u^{*}){\hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},}$$

grupo de Heisenbergnilpotentela teoría cuántica de campos . ^[31]

Ver también

• Matriz exponencial
• Logaritmo de una matriz
• Fórmula del producto Lie (fórmula del producto Trotter)
• Correspondencia entre grupo de mentiras y álgebra de mentiras
• Derivada del mapa exponencial
• expansión magnus
• Teorema de Stone-von Neumann
• Desigualdad de Golden-Thompson

Notas

1. Recordar
   $${\displaystyle \psi (e^{y})=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}~y^{n}/n!,}$$
   para los números de Bernoulli , B ₀ = 1, B ₁ = 1/2, B ₂ = 1/6, B ₄ = −1/30, ...
2. Rossmann 2002 Ecuación (2) Sección 1.3. Para álgebras matriciales de Lie sobre los campos R y C , el criterio de convergencia es que la serie logarítmica converge para ambos lados de e ^Z = e ^X e ^Y. Esto está garantizado siempre que ‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2, ‖ Z ‖ < log 2 en la norma de Hilbert-Schmidt . La convergencia puede ocurrir en un dominio más grande. Véase Rossmann 2002 p. 24.

Referencias

1. Rossmann 2002
2. Salón 2015
3. F. Schur (1890), "Neue Begründung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen , 35 (1890), 161-197. copia en línea
4. ver, por ejemplo, Shlomo Sternberg , Lie Algebras (2004) Universidad de Harvard. ( ver pág. 10. )
5. John Edward Campbell , Actas de la Sociedad Matemática de Londres 28 (1897) 381–390; (cf. pp. 386-7 para el lema del mismo nombre); J. Campbell, Actas de la Sociedad Matemática de Londres 29 (1898) 14–32.
6. Henri Poincaré , Comptes rendus de l'Académie des Sciences 128 (1899) 1065-1069; Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge 18 (1899) 220–255. en línea
7. Henry Frederick Baker , Actas de la Sociedad Matemática de Londres (1) 34 (1902) 347–360; H. Baker, Actas de la Sociedad Matemática de Londres (1) 35 (1903) 333–374; H. Baker, Actas de la Sociedad Matemática de Londres (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
8. Felix Hausdorff , "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
9. Rossmann 2002 p. 23
10. Aquiles y Bonfiglioli 2012
11. Bonfiglioli y Fulci 2012
12. Eichler, Martín (1968). "Una nueva prueba de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 20 (1–2): 23–25. doi : 10.2969/jmsj/02010023 .
13. Nathan Jacobson , Álgebras de mentiras , John Wiley & Sons, 1966.
14. Dynkin, Eugene Borisovich (1947). "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell-Hausdorff" [Cálculo de los coeficientes en la fórmula Campbell-Hausdorff]. Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 57 : 323–326.
15. AA Sagle y RE Walde, "Introducción a los grupos de mentiras y las álgebras de mentiras", Academic Press, Nueva York, 1973. ISBN 0-12-614550-4 . 
16. Magnus, Wilhelm (1954). "Sobre la solución exponencial de ecuaciones diferenciales para un operador lineal". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 7 (4): 649–673. doi :10.1002/cpa.3160070404.
17. Suzuki, Masuo (1985). "Fórmulas de descomposición de operadores exponenciales y exponenciales de Lie con algunas aplicaciones a la mecánica cuántica y la física estadística". Revista de Física Matemática . 26 (4): 601–612. Código bibliográfico : 1985JMP....26..601S. doi : 10.1063/1.526596.; Veltman, M , 't Hooft, G & de Wit, B (2007), Apéndice D.
18. W. Miller, Grupos de simetría y sus aplicaciones , Academic Press , Nueva York, 1972, págs. 159-161. ISBN 0-12-497460-0 
19. Teorema 5.3 de Hall 2015
20. Salón 2015 Ejemplo 3.41
21. Wei, James (octubre de 1963). "Nota sobre la validez global de los teoremas de Baker-Hausdorff y Magnus". Revista de Física Matemática . 4 (10): 1337-1341. Código bibliográfico : 1963JMP......4.1337W. doi :10.1063/1.1703910.
22. Biagi, Stefano; Bonfiglioli, Andrea; Matone, Marco (2018). "Sobre el teorema de Baker-Campbell-Hausdorff: cuestiones de no convergencia y prolongación". Álgebra lineal y multilineal . 68 (7): 1310-1328. arXiv : 1805.10089 . doi :10.1080/03081087.2018.1540534. ISSN  0308-1087. S2CID  53585331.
23. Teorema 5.1 de Hall 2015
24. Gerry, Cristóbal; Caballero, Peter (2005). Introducción a la óptica cuántica (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 49.ISBN​ 978-0-521-52735-4.
25. Salón 2015 Ejercicio 5.5
26. Salón 2015 Sección 5.7
27. Casas, F.; Murúa, A.; Nadinic, M. (2012). "Cálculo eficiente de la fórmula de Zassenhaus". Comunicaciones de Física Informática . 183 (11): 2386–2391. arXiv : 1204.0389 . Código Bib : 2012CoPhC.183.2386C. doi :10.1016/j.cpc.2012.06.006. S2CID  2704520.
28. Propuesta 3.35 del Salón 2015
29. Rossmann 2002 p. 15
30. L. Mandel , E. Wolf Coherencia óptica y óptica cuántica (Cambridge 1995).
31. Greiner y Reinhardt 1996 Consulte las páginas 27-29 para obtener una prueba detallada del lema anterior.

Bibliografía

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enlaces externos

• CK Zachos , Notas de cuna sobre las expansiones de CBH doi :10.13140/2.1.3090.2409
• Página de MathWorld