transformada bilineal

Operación de procesamiento de señal

La transformada bilineal (también conocida como método de Tustin , en honor a Arnold Tustin ) se utiliza en el procesamiento de señales digitales y en la teoría de control de tiempo discreto para transformar representaciones de sistemas de tiempo continuo en tiempo discreto y viceversa.

La transformada bilineal es un caso especial de mapeo conforme (es decir, una transformación de Möbius ), a menudo utilizada para convertir una función de transferencia de un filtro lineal invariante en el tiempo ( LTI ) en el dominio del tiempo continuo (a menudo denominado filtro analógico ). a una función de transferencia de un filtro lineal invariante de desplazamiento en el dominio del tiempo discreto (a menudo denominado filtro digital, aunque hay filtros analógicos construidos con condensadores conmutados que son filtros de tiempo discreto). Asigna posiciones en el eje, en el plano s, al círculo unitario , en el plano z . Se pueden usar otras transformadas bilineales para deformar la respuesta de frecuencia de cualquier sistema lineal de tiempo discreto (por ejemplo, para aproximar la resolución de frecuencia no lineal del sistema auditivo humano) y se pueden implementar en el dominio discreto reemplazando los retrasos unitarios de un sistema con los primeros. Solicite filtros de paso total . ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$

La transformada preserva la estabilidad y asigna cada punto de la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo a un punto correspondiente en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo discreto, aunque a una frecuencia algo diferente, como se muestra en la sección Deformación de frecuencia a continuación. Esto significa que por cada característica que se ve en la respuesta de frecuencia del filtro analógico, hay una característica correspondiente, con ganancia y desplazamiento de fase idénticos, en la respuesta de frecuencia del filtro digital pero, quizás, en una frecuencia algo diferente. Esto apenas se nota en frecuencias bajas pero es bastante evidente en frecuencias cercanas a la frecuencia de Nyquist . ${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$ ${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$

Aproximación en tiempo discreto

La transformada bilineal es una aproximación de Padé de primer orden de la función de logaritmo natural que es una aplicación exacta del plano z al plano s . Cuando la transformada de Laplace se realiza en una señal de tiempo discreto (con cada elemento de la secuencia de tiempo discreto adjunto a un impulso unitario correspondientemente retardado ), el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

¿Dónde está el tamaño del paso de integración numérica de la regla trapezoidal utilizada en la derivación de la transformada bilineal? ^[1] o, en otras palabras, el período de muestreo. La aproximación bilineal anterior se puede resolver o se puede realizar una aproximación similar . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$

La inversa de este mapeo (y su aproximación bilineal de primer orden ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

La transformada bilineal esencialmente utiliza esta aproximación de primer orden y la sustituye en la función de transferencia de tiempo continuo, ${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Eso es

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

Estabilidad y propiedad de fase mínima preservadas

Un filtro causal de tiempo continuo es estable si los polos de su función de transferencia caen en la mitad izquierda del plano s complejo . Un filtro causal de tiempo discreto es estable si los polos de su función de transferencia caen dentro del círculo unitario en el plano z complejo . La transformada bilineal asigna la mitad izquierda del plano s complejo al interior del círculo unitario en el plano z. Por tanto, los filtros diseñados en el dominio del tiempo continuo que son estables se convierten en filtros en el dominio del tiempo discreto que preservan esa estabilidad.

Asimismo, un filtro de tiempo continuo es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia caen en la mitad izquierda del plano s complejo. Un filtro de tiempo discreto es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia caen dentro del círculo unitario en el plano z complejo. Luego, la misma propiedad de mapeo asegura que los filtros de tiempo continuo que son de fase mínima se conviertan en filtros de tiempo discreto que conserven esa propiedad de ser de fase mínima.

Transformación de un sistema LTI general

Un sistema LTI general tiene la función de transferencia

$${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$

NPQP,adecuada

$${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$

K2/ Tdeformación de frecuencia

$${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$

( z + 1) ⁻¹( z + 1) ^-N

$${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$

N.

Consideremos entonces la forma polo-cero de la función de transferencia en tiempo continuo

$${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$

ξ _ip _iceros y los polosmapeo uno a uno

$${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$

_{produciendo algunos de los ceros y polosdiscretizada} ξ'ip'i

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$

N( z + 1) ^-N[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

Ejemplo

Como ejemplo, tomemos un filtro RC de paso bajo simple . Este filtro de tiempo continuo tiene una función de transferencia.

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

Si deseamos implementar este filtro como un filtro digital, podemos aplicar la transformada bilineal sustituyendo la fórmula anterior; Después de algunas modificaciones, obtenemos la siguiente representación de filtro: ${\displaystyle s}$

Los coeficientes del denominador son los coeficientes de "retroalimentación" y los coeficientes del numerador son los coeficientes de "retroalimentación" utilizados para implementar un filtro digital en tiempo real .

Transformación para un filtro general de tiempo continuo de primer orden.

Es posible relacionar los coeficientes de un filtro analógico de tiempo continuo con los de un filtro digital de tiempo discreto similar creado mediante el proceso de transformación bilineal. Transformar un filtro general de tiempo continuo de primer orden con la función de transferencia dada

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

El uso de la transformada bilineal (sin deformar previamente ninguna especificación de frecuencia) requiere la sustitución de

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

dónde

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$.

Sin embargo, si se utiliza la compensación de deformación de frecuencia como se describe a continuación en la transformada bilineal, de modo que tanto la ganancia como la fase del filtro analógico y digital concuerden en la frecuencia , entonces ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$.

Esto da como resultado un filtro digital de tiempo discreto con coeficientes expresados ​​en términos de los coeficientes del filtro de tiempo continuo original:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

Normalmente, el término constante en el denominador debe normalizarse a 1 antes de derivar la ecuación en diferencias correspondiente . Esto resulta en

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

La ecuación en diferencias (usando la forma directa I ) es

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

Transformación bicuadrada general de segundo orden.

Se puede utilizar un proceso similar para un filtro general de segundo orden con la función de transferencia dada

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

Esto da como resultado un filtro bicuadrado digital de tiempo discreto con coeficientes expresados ​​en términos de los coeficientes del filtro de tiempo continuo original:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

Nuevamente, el término constante en el denominador generalmente se normaliza a 1 antes de derivar la ecuación en diferencias correspondiente . Esto resulta en

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

La ecuación en diferencias (usando la forma directa I ) es

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

Deformación de frecuencia

Para determinar la respuesta de frecuencia de un filtro de tiempo continuo, se evalúa la función de transferencia en el eje. Asimismo, para determinar la respuesta en frecuencia de un filtro de tiempo discreto, se evalúa la función de transferencia en el círculo unitario, . La transformada bilineal asigna el eje del plano s (que es el dominio de ) al círculo unitario del plano z (que es el dominio de ), pero no es el mismo mapeo que también asigna el eje al circulo unitario. Cuando la frecuencia real de se ingresa al filtro de tiempo discreto diseñado mediante el uso de la transformada bilineal, entonces se desea saber a qué frecuencia, , para el filtro de tiempo continuo al que se asigna. ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{sT}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

Esto muestra que cada punto del círculo unitario en el plano z del filtro de tiempo discreto se asigna a un punto en el eje del plano s del filtro de tiempo continuo . Es decir, el mapeo de frecuencia de tiempo discreto a tiempo continuo de la transformada bilineal es ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

y el mapeo inverso es

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

El filtro de tiempo discreto se comporta en frecuencia de la misma manera que el filtro de tiempo continuo se comporta en frecuencia . Específicamente, la ganancia y el desplazamiento de fase que tiene el filtro de tiempo discreto en la frecuencia es la misma ganancia y el desplazamiento de fase que tiene el filtro de tiempo continuo en la frecuencia . Esto significa que cada característica, cada "protuberancia" que es visible en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo también es visible en el filtro de tiempo discreto, pero a una frecuencia diferente. Para frecuencias bajas (es decir, cuando o ), las características se asignan a una frecuencia ligeramente diferente; . ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$

Se puede ver que todo el rango de frecuencia continuo

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

se asigna al intervalo de frecuencia fundamental

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

La frecuencia del filtro de tiempo continuo corresponde a la frecuencia del filtro de tiempo discreto y la frecuencia del filtro de tiempo continuo corresponde a la frecuencia del filtro de tiempo discreto ${\displaystyle \omega _{a}=0}$ ${\displaystyle \omega _{d}=0}$ ${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$ ${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T.}$

También se puede ver que existe una relación no lineal entre y. Este efecto de la transformada bilineal se llama deformación de frecuencia . El filtro de tiempo continuo se puede diseñar para compensar esta deformación de frecuencia estableciendo cada especificación de frecuencia sobre la que el diseñador tiene control (como la frecuencia de esquina o la frecuencia central). A esto se le llama deformación previa del diseño del filtro. ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}.}$ ${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

Sin embargo, es posible compensar la deformación de frecuencia deformando previamente una especificación de frecuencia (normalmente una frecuencia resonante o la frecuencia de la característica más significativa de la respuesta de frecuencia) del sistema de tiempo continuo. Estas especificaciones predeformadas pueden luego usarse en la transformada bilineal para obtener el sistema de tiempo discreto deseado. Al diseñar un filtro digital como una aproximación de un filtro de tiempo continuo, la respuesta de frecuencia (tanto de amplitud como de fase) del filtro digital se puede hacer para que coincida con la respuesta de frecuencia del filtro continuo a una frecuencia específica , así como también en CC. , si la siguiente transformada se sustituye en la función de transferencia de filtro continuo. ^[3] Esta es una versión modificada de la transformación de Tustin que se muestra arriba. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Sin embargo, tenga en cuenta que esta transformación se convierte en la transformación original.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

como . ${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$

La principal ventaja del fenómeno de deformación es la ausencia de distorsión de aliasing de la característica de respuesta de frecuencia, como se observa con la invariancia de impulso .

Ver también

• Invariancia de impulso
• Método de transformación Z coincidente

Referencias

1. Oppenheim, Alan (2010). Procesamiento de señales en tiempo discreto, tercera edición . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Higher Education, Inc. p. 504.ISBN​ 978-0-13-198842-2.
2. Bhandari, Ayush. "Notas de la conferencia sobre DSP y filtros digitales" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2022 . Consultado el 16 de agosto de 2022 .
3. Astrom, Karl J. (1990). Sistemas controlados por computadora, teoría y diseño (Segunda ed.). Prentice Hall. pag. 212.ISBN​ 0-13-168600-3.

enlaces externos

• Procesamiento de señales MIT OpenCourseWare: diseño de filtro continuo a discreto
• Apuntes de conferencias sobre equivalentes discretos
• El arte del diseño de filtros VA