Método de transformación Z coincidente

Los polos y ceros del plano s de un filtro de paso bajo Chebyshev tipo II de quinto orden se aproximarán como un filtro de tiempo discreto

Los polos y ceros del plano z del filtro de Chebyshev de tiempo discreto, mapeados en el plano z utilizando el método de transformada Z coincidente con T = 1/10 de segundo. Los puntos de frecuencia etiquetados y las líneas de puntos del borde de la banda también se han mapeado a través de la función z=e ^iωT , para mostrar cómo las frecuencias a lo largo del eje iω en el plano s se mapean en el círculo unitario en el plano z .

El método de transformación Z emparejado , también llamado mapeo polo-cero ^{[1] [2]} o método de emparejamiento polo-cero , ^[3] y abreviado MPZ o MZT , ^[4] es una técnica para convertir un diseño de filtro de tiempo continuo a un diseño de filtro de tiempo discreto ( filtro digital ).

El método funciona mapeando todos los polos y ceros del diseño del plano s en ubicaciones del plano z , para un intervalo de muestra . ^[5] Entonces, un filtro analógico con función de transferencia: ${\displaystyle z=e^{sT}}$ ${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}}$

se transforma en la función de transferencia digital

${\displaystyle H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}}$

La ganancia debe ajustarse para normalizar la ganancia deseada, generalmente configurada para que coincida con la ganancia del filtro analógico en CC configurando y resolviendo para . ^{[3] [6]} ${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$

Dado que el mapeo envuelve repetidamente el eje del plano s alrededor del círculo unitario del plano z , cualquier cero (o polo) mayor que la frecuencia de Nyquist se mapeará en una ubicación con alias. ^[7] ${\displaystyle j\omega }$

En el caso (común) de que la función de transferencia analógica tenga más polos que ceros, los ceros en pueden opcionalmente desplazarse hacia abajo a la frecuencia de Nyquist colocándolos en , lo que hace que la función de transferencia disminuya de la misma manera que con la función de transferencia analógica. transformada bilineal (BLT). ^{[1] [3] [6] [7]} ${\displaystyle s=\infty }$ ${\displaystyle z=-1}$ ${\displaystyle z\rightarrow -1}$

Si bien esta transformada preserva la estabilidad y la fase mínima , no preserva ni la respuesta en el dominio del tiempo ni de la frecuencia y, por lo tanto, no se usa ampliamente. ^{[8] [7]} Los métodos más comunes incluyen el BLT y los métodos de invariancia de impulso . ^{[4] Sin embargo} , MZT proporciona menos error de respuesta de alta frecuencia que el BLT, lo que hace que sea más fácil de corregir agregando ceros adicionales, lo que se llama MZTi (por "mejorado"). ^[9]

Una aplicación específica del método de transformada Z adaptada en el campo del control digital es con la fórmula de Ackermann , que cambia los polos del sistema controlable ; en general desde una ubicación inestable (o cercana) a una ubicación estable.

Respuestas del filtro (discontinuas) y su aproximación en tiempo discreto (sólido), para una frecuencia de corte nominal de 1 Hz, frecuencia de muestreo 1/T = 10 Hz. El filtro de tiempo discreto no reproduce la propiedad equiripple de Chebyshev en la banda de parada debido a la interferencia de copias cíclicas de la respuesta.

Referencias

1. Won Young Yang (2009). Señales y Sistemas con MATLAB. Saltador. pag. 292.ISBN _ 978-3-540-92953-6.
2. Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales. AIAA. pag. 151.ISBN _ 978-1-56347-261-9.
3. Arthur GO Mutambara (1999). Diseño y análisis de sistemas de control. Prensa CRC. pag. 652.ISBN _ 978-0-8493-1898-6.
4. Al-Alaoui, MA (febrero de 2007). "Enfoque novedoso para las transformaciones de analógico a digital". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas I: artículos habituales . 54 (2): 338–350. doi :10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN  1549-8328. S2CID  9049852.
5. SV Narasimhan y S. Veena (2005). Procesamiento de señales: principios e implementación. Alpha Science Int'l Ltd. pág. 260.ISBN _ 978-1-84265-199-5.
6. Franklin, Gene F. (2015). Control por retroalimentación de sistemas dinámicos . Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas (Séptima ed.). Boston: Pearson. págs. 607–611. ISBN 978-0133496598. OCLC  869825370. Debido a que los sistemas físicos suelen tener más polos que ceros, resulta útil sumar ceros arbitrariamente en z = -1.
7. Rabiner, Lawrence R; Oro, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Acantilados de Englewood, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 224-226. ISBN 0139141014. Se ha sugerido la conveniencia de añadir artificialmente ceros en z = —1 al sistema digital... pero esta técnica ad hoc es, en el mejor de los casos, sólo una medida provisional. ... En general, se prefiere el uso de una transformación bilineal o invariante de impulso a la transformación z combinada.
8. Jackson, Leland B. (1996). Filtros digitales y procesamiento de señales. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 262.ISBN _ 9780792395591. Aunque se pueden diseñar filtros perfectamente utilizables de esta manera, esta transformación no conserva propiedades especiales en el dominio del tiempo o la frecuencia, y no se usa ampliamente.
9. Ojas, Chauhan; David, Gunness (1 de septiembre de 2007). "Optimización de la respuesta de magnitud de filtros de transformación Z combinados ("MZTi") para la ecualización de altavoces". Sociedad de Ingeniería de Audio . Archivado desde el original el 27 de julio de 2019.URL alternativa