Controlabilidad

Propiedad del sistema dinámico

La controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control y juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilización de sistemas inestables mediante retroalimentación o el control óptimo.

La controlabilidad y la observabilidad son aspectos duales del mismo problema.

En términos generales, el concepto de controlabilidad denota la capacidad de mover un sistema en todo su espacio de configuración utilizando sólo ciertas manipulaciones admisibles. La definición exacta varía ligeramente según el marco o el tipo de modelos aplicados.

Los siguientes son ejemplos de variaciones de nociones de controlabilidad que se han introducido en la literatura sobre sistemas y control:

• Controlabilidad estatal
• Controlabilidad de salida
• Controlabilidad en el marco conductual.

Controlabilidad estatal

El estado de un sistema determinista , que es el conjunto de valores de todas las variables de estado del sistema (aquellas variables caracterizadas por ecuaciones dinámicas), describe completamente el sistema en un momento dado. En particular, no se necesita información sobre el pasado de un sistema para ayudar a predecir el futuro, si se conocen los estados en el momento presente y se conocen todos los valores actuales y futuros de las variables de control (aquellas cuyos valores se pueden elegir).

La controlabilidad completa del estado (o simplemente controlabilidad si no se da otro contexto) describe la capacidad de una entrada externa (el vector de variables de control) para mover el estado interno de un sistema desde cualquier estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito. ^{[1] : 737}

Es decir, podemos definir informalmente la controlabilidad de la siguiente manera: si para cualquier estado inicial y cualquier estado final existe una secuencia de entrada desde la cual transferir el estado del sistema en un intervalo de tiempo finito, entonces el sistema modelado por la representación del espacio de estados es controlable. . Para el ejemplo más simple de un sistema LTI continuo, la dimensión de la fila de la expresión del espacio de estados determina el intervalo; cada fila aporta un vector en el espacio de estados del sistema. Si no hay suficientes vectores de este tipo para abarcar el espacio de estados de , entonces el sistema no puede lograr la controlabilidad. Puede ser necesario modificar y aproximar mejor las relaciones diferenciales subyacentes que estima para lograr la controlabilidad. ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Controlabilidad no significa que se pueda mantener un estado alcanzado, simplemente que se puede alcanzar cualquier estado.

La controlabilidad no significa que se puedan trazar caminos arbitrarios a través del espacio de estados, sólo que existe un camino dentro del intervalo de tiempo finito prescrito.

Sistemas lineales continuos

Considere el sistema lineal continuo ^{[nota 1]}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

Existe un control de estado en el momento al estado en el momento si y sólo si está en el espacio de columnas de ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$

donde es la matriz de transición de estado y es la Controlabilidad Gramiana . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$

De hecho, si es una solución, entonces un control dado por realizaría la transferencia deseada. ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$ ${\displaystyle u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}}$

Tenga en cuenta que la matriz definida anteriormente tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$es simétrico
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$es semidefinido positivo para ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$satisface la ecuación diferencial matricial lineal

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$satisface la ecuación

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}}$^[2]

Condición de rango para la controlabilidad

El Gramiano de Controlabilidad implica la integración de la matriz de transición de estado de un sistema. Una condición más simple para la controlabilidad es una condición de rango análoga a la condición de rango de Kalman para sistemas invariantes en el tiempo.

Considere un sistema lineal de tiempo continuo que varía suavemente en un intervalo de : ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

La matriz de transición de estado también es suave. Introduzca la función matricial nxm y defina ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)}$

${\displaystyle M_{k}(t)}$= . ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1}$

Considere la matriz de funciones matriciales obtenida al enumerar todas las columnas de , : ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,k}$

${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]}$.

Si existe a y un entero no negativo k tal que , entonces es controlable. ^[3] ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Si también varía analíticamente en un intervalo , entonces es controlable en cada subintervalo no trivial de si y sólo si existe ay un entero no negativo k tal que . ^[3] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle [t_{0},t]}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n}$

Los métodos anteriores aún pueden ser complejos de verificar, ya que implican el cálculo de la matriz de transición de estado . Otra condición equivalente se define como sigue. Dejemos , y para cada uno , definir ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle B_{0}(t)=B(t)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle B_{i+1}(t)}$= ${\displaystyle A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$

En este caso, cada uno se obtiene directamente de los datos. El sistema es controlable si existe un número entero no negativo tal que . ^[3] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle (A(t),B(t)).}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n}$

Ejemplo

Considere un sistema que varía analíticamente en matrices y ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, Entonces y dado que esta matriz tiene rango 3, el sistema es controlable en cada intervalo no trivial de . ${\displaystyle B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Sistemas lineales continuos invariantes en el tiempo (LTI)

Considere el sistema lineal continuo invariante en el tiempo.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {x} }$es el "vector de estado", ${\displaystyle n\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} }$es el "vector de salida", ${\displaystyle m\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {u} }$es el "vector de entrada (o control)", ${\displaystyle r\times 1}$

${\displaystyle A}$es la "matriz de estado", ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle B}$es la "matriz de entrada", ${\displaystyle n\times r}$

${\displaystyle C}$es la "matriz de salida", ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle D}$es la "matriz de avance (o avance)". ${\displaystyle m\times r}$

La matriz de controlabilidad está dada por ${\displaystyle n\times nr}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene rango de fila completo (es decir ). ${\displaystyle \operatorname {rank} (R)=n}$

Sistemas lineales discretos invariantes en el tiempo (LTI)

Para un sistema de espacio de estados lineal de tiempo discreto (es decir, variable de tiempo ), la ecuación de estado es ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$

donde es una matriz y es una matriz (es decir, las entradas se recopilan en un vector). La prueba de controlabilidad es que la matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times r}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\times 1}$ ${\displaystyle n\times nr}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

tiene rango de fila completo (es decir, ). Es decir, si el sistema es controlable, tendrá columnas que sean linealmente independientes ; Si las columnas de son linealmente independientes , se puede alcanzar cada uno de los estados dándole al sistema las entradas adecuadas a través de la variable . ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u(k)}$

Derivación

Dado el estado en un momento inicial, arbitrariamente denotado como k =0, la ecuación de estado da luego y así sucesivamente con repetidas sustituciones hacia atrás de la variable de estado, lo que eventualmente produce ${\displaystyle {\textbf {x}}(0)}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),}$

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$

o equivalente

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$

Al imponer cualquier valor deseado del vector de estado en el lado izquierdo, esto siempre se puede resolver para el vector apilado de vectores de control si y solo si la matriz de matrices al comienzo del lado derecho tiene rango de fila completo. ${\displaystyle {\textbf {x}}(n)}$

Ejemplo

Por ejemplo, considere el caso cuando y (es decir, sólo una entrada de control). Por tanto, y son vectores. If tiene rango 2 (rango completo), por lo que y son linealmente independientes y abarcan todo el plano. Si el rango es 1, entonces y son colineales y no abarcan el plano. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle 2\times 1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

Suponga que el estado inicial es cero.

En el momento : ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$

En el momento : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$

En ese momento todos los estados alcanzables están en la línea formada por el vector . En algún momento todos los estados alcanzables son combinaciones lineales de y . Si el sistema es controlable entonces estos dos vectores pueden abarcar todo el plano y pueden hacerlo por tiempo . La suposición de que el estado inicial es cero es simplemente por conveniencia. Claramente, si se pueden alcanzar todos los estados desde el origen, entonces se puede alcanzar cualquier estado desde otro estado (simplemente un cambio de coordenadas). ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k=2}$

Este ejemplo es válido para todos los positivos , pero el caso de es más fácil de visualizar. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

Analogía por ejemplo de n = 2

Considere una analogía con el sistema de ejemplo anterior. Estás sentado en tu coche en un plano infinito y mirando al norte. El objetivo es llegar a cualquier punto del avión recorriendo una distancia en línea recta, detenerse por completo, girar y recorrer otra distancia, nuevamente, en línea recta. Si su automóvil no tiene dirección, entonces solo puede conducir en línea recta, lo que significa que solo puede conducir en una línea (en este caso, la línea norte-sur desde que comenzó a mirar hacia el norte). La falta de dirección sería análoga a cuando el rango de es 1 (las dos distancias que recorriste están en la misma línea). ${\displaystyle C}$

Ahora, si su automóvil tuviera dirección, podría conducir fácilmente a cualquier punto del avión y este sería el caso análogo a cuando el rango de es 2. ${\displaystyle C}$

Si cambia este ejemplo, la analogía sería volar en el espacio para alcanzar cualquier posición en el espacio 3D (ignorando la orientación de la aeronave ). Tienes permiso para: ${\displaystyle n=3}$

• volar en linea recta
• girar a la izquierda o a la derecha en cualquier cantidad ( guiñada )
• dirigir el avión hacia arriba o hacia abajo en cualquier cantidad ( Pitch )

Aunque el caso tridimensional es más difícil de visualizar, el concepto de controlabilidad sigue siendo análogo.

Sistemas no lineales

Sistemas no lineales en forma de control afín.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

son accesibles localmente si la distribución de accesibilidad abarca el espacio, cuando es igual al rango de y R está dado por: ^[4] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

Aquí, está la operación repetida entre corchetes de Lie definida por ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

De hecho, la matriz de controlabilidad para sistemas lineales de la sección anterior se puede derivar de esta ecuación.

Controlabilidad nula

Si un sistema de control discreto es controlable por nulos, significa que existe un controlable para algún estado inicial . En otras palabras, es equivalente a la condición de que exista una matriz que sea nilpotente. ${\displaystyle u(k)}$ ${\displaystyle x(k_{0})=0}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A+BF}$

Esto se puede demostrar fácilmente mediante una descomposición controlable-incontrolable.

Controlabilidad de salida

La controlabilidad de la salida es la noción relacionada con la salida del sistema (denotada por y en las ecuaciones anteriores); La controlabilidad de la salida describe la capacidad de una entrada externa para mover la salida desde cualquier condición inicial a cualquier condición final en un intervalo de tiempo finito. No es necesario que exista alguna relación entre la controlabilidad del Estado y la controlabilidad de la producción. En particular:

• Un sistema controlable no es necesariamente controlable por su salida. Por ejemplo, si la matriz D  = 0 y la matriz C no tienen un rango de fila completo, entonces algunas posiciones de la salida están enmascaradas por la estructura limitante de la matriz de salida y, por lo tanto, son inalcanzables. Además, aunque el sistema puede trasladarse a cualquier estado en un tiempo finito, puede haber algunas salidas que sean inaccesibles para todos los estados. Un ejemplo numérico trivial utiliza D =0 y una matriz C con al menos una fila de ceros; por lo tanto, el sistema no puede producir una salida distinta de cero en esa dimensión.
• Un sistema controlable por salida no es necesariamente controlable por estado. Por ejemplo, si la dimensión del espacio de estados es mayor que la dimensión de la salida, entonces habrá un conjunto de posibles configuraciones de estado para cada salida individual. Es decir, el sistema puede tener dinámicas cero significativas , que son trayectorias del sistema que no son observables desde la salida. En consecuencia, ser capaz de llevar una salida a una posición particular en un tiempo finito no dice nada sobre la configuración del estado del sistema.

Para un sistema lineal de tiempo continuo, como el ejemplo anterior, descrito por las matrices , , y , la matriz de controlabilidad de salida ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m\times (n+1)r}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$

tiene rango de fila completo (es decir, rango ) si y sólo si el sistema es controlable por salida. ^{[1] : 742} ${\displaystyle m}$

Controlabilidad bajo restricciones de entrada.

En sistemas con autoridad de control limitada, a menudo ya no es posible mover ningún estado inicial a ningún estado final dentro del subespacio controlable. Este fenómeno es causado por restricciones en la entrada que podrían ser inherentes al sistema (por ejemplo, debido a la saturación del actuador) o impuestas al sistema por otras razones (por ejemplo, debido a preocupaciones relacionadas con la seguridad). La controlabilidad de sistemas con restricciones de entrada y estado se estudia en el contexto de la alcanzabilidad ^[5] y la teoría de la viabilidad . ^[6]

Controlabilidad en el marco conductual.

En el llamado enfoque teórico de sistemas conductuales debido a Willems (ver personas en sistemas y control ), los modelos considerados no definen directamente una estructura entrada-salida. En este marco, los sistemas se describen mediante trayectorias admisibles de un conjunto de variables, algunas de las cuales podrían interpretarse como entradas o salidas.

Entonces se define que un sistema es controlable en este entorno, si cualquier parte pasada de un comportamiento (trayectoria de las variables externas) puede concatenarse con cualquier trayectoria futura del comportamiento de tal manera que la concatenación esté contenida en el comportamiento, es decir forma parte del comportamiento admisible del sistema. ^{[7] : 151}

Estabilización

Una noción ligeramente más débil que la de controlabilidad es la de estabilizabilidad . Se dice que un sistema es estabilizable cuando se puede hacer que todas las variables de estado incontrolables tengan una dinámica estable . Por lo tanto, aunque algunas de las variables de estado no se pueden controlar (como lo determina la prueba de controlabilidad anterior), todas las variables de estado permanecerán limitadas durante el comportamiento del sistema. ^[8]

Conjunto accesible

Sean T ∈ Т y x ∈ X (donde X es el conjunto de todos los estados posibles y Т es un intervalo de tiempo). El conjunto alcanzable desde x en el tiempo T se define como: ^[3]

${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}}$, donde xt→z denota que existe una transición de estado de x a z en el tiempo T.

Para sistemas autónomos el conjunto alcanzable viene dado por:

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)}$,

donde R es la matriz de controlabilidad.

En términos del conjunto alcanzable, el sistema es controlable si y sólo si . ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}}$

Prueba Tenemos las siguientes igualdades:

${\displaystyle R=[B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])}$

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=\mathrm {rank} (R)}$

Considerando que el sistema es controlable, las columnas de R deben ser linealmente independientes . Entonces:

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=n}$

${\displaystyle \mathrm {rank} (R)=n}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare }$

Un conjunto relacionado con el conjunto alcanzable es el conjunto controlable, definido por:

${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}}$.

Sontag presenta la relación entre alcanzabilidad y controlabilidad: ^[3]

(a) Un sistema lineal discreto de n dimensiones es controlable si y sólo si:

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$ (Donde X es el conjunto de todos los valores o estados posibles de x y k es el paso de tiempo).

(b) Un sistema lineal de tiempo continuo es controlable si y sólo si:

${\displaystyle R(0)=R^{e}{(0)=X}}$para todo e>0.

si y sólo si para todo e>0. ${\displaystyle C(0)=C^{e}{(0)=X}}$

Ejemplo Sea el sistema un sistema discreto invariante en el tiempo de n dimensiones a partir de la fórmula:

Φ(n,0,0,w)= (Donde se define Φ(tiempo final, tiempo inicial, variable de estado, restricciones) es la matriz de transición de una variable de estado x desde un tiempo inicial 0 hasta un tiempo final n con algunas restricciones w). ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)}$

Se deduce que el estado futuro está en ⇔ está en la imagen del mapa lineal: ${\displaystyle R^{k}{(0)}}$

Im(R)=R(A,B)≜ Im( ), ${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$

qué mapas,

${\displaystyle u^{n}}$→X

Cuando y identificamos R(A,B) con una matriz por nm cuyas columnas son las columnas de en ese orden. Si el sistema es controlable el rango de es n. Si esto es cierto, la imagen del mapa lineal R es toda X. En base a eso, tenemos: ${\displaystyle u=K^{m}}$ ${\displaystyle X=K^{n}}$ ${\displaystyle B,\ AB,....,A^{n-1}B}$ ${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$con XЄ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ver también

• Observabilidad
• Lema alto

Notas

1. Un sistema lineal invariante en el tiempo se comporta igual pero con los coeficientes constantes en el tiempo.

Referencias

1. Katsuhiko Ogata (1997). Ingeniería de control moderna (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-227307-7.
2. Brockett, Roger W. (1970). Sistemas Lineales de Dimensiones Finitas . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-10585-5.
3. Eduardo D. Sontag, Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensiones finitas.
4. Isidori, Alberto (1989). Sistemas de control no lineales , p. 92–3. Springer-Verlag, Londres. ISBN 3-540-19916-0 . 
5. Claire J. Tomlin; Ian Mitchell; Alejandro M. Bayén; Meeko Oishi (2003). «Técnicas Computacionales para la Verificación de Sistemas Híbridos» (PDF) . Actas del IEEE . 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . doi : 10.1109/jproc.2003.814621 . Consultado el 4 de marzo de 2012 . 
6. Jean-Pierre Aubin (1991). Teoría de la viabilidad . Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3571-8.
7. Enero Polderman; Jan Willems (1998). Introducción a la teoría de sistemas matemáticos: un enfoque conductual (1ª ed.). Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98266-3.
8. Brian DO Anderson; John B. Moore (1990). Control óptimo: métodos cuadráticos lineales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8.

enlaces externos

• Función MATLAB para comprobar la controlabilidad de un sistema Archivado el 10 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
• Función Mathematica para comprobar la controlabilidad de un sistema.